1 . 在
中，
，点D是平面上一点，且
，连接
，则下列说法正确的是（ ）
中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（ ）A． 长度的最大值是9 | B． 的最小值是 |
C． | D． 面积的最大值是40 |
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2 . 已知，
，
．
上（点D不与点B，C重合），且
．
①连接，当
时，
______．
②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段
逆时针旋转
，旋转后点B的对应点为点
，连接
，设为最大值为a，的最小值为b，则
______．
③如图（2），若把线段绕点A逆时针旋转
得线段
，连接
交
于点F，求
的最大值．
探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段绕点A逆时针旋转
得线段
，再把线段逆时针旋转得线段
交于点P，
与
的延长线交于点Q，请判断射线
是否经过点Q．
，，．
上（点D不与点B，C重合），且．①连接
，当时， ______．②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段
逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接，设为最大值为a，的最小值为b，则______．③如图（2），若把线段
绕点A逆时针旋转得线段，连接交于点F，求的最大值．探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段
绕点A逆时针旋转得线段，再把线段逆时针旋转得线段交于点P，与的延长线交于点Q，请判断射线是否经过点Q．
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3 . 如图，在矩形
中，
，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形
，点
的对应点分别为
，设点P为
的中点，连结
，在矩形旋转的过程中，
面积的最大值___________ 和最小值___________ ．
中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值
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4 . 给出如下定义：在平面直角坐标系
中，已知三点
，
中两点间的距离的最小值为三点间的“最佳间距”．
如：
，那么“最佳间距”是3．
(1)已知点
．
①若三点
的“最佳间距”是2，写出一个满足条件的点
的坐标；
②直接写出三点间的“最佳间距”的最大值．
(2)已知点
，点
的坐标是
，求三点
的“最佳间距”的最大值及相应的点
的坐标；
中，已知三点，中两点间的距离的最小值为三点间的“最佳间距”．如：
，那么“最佳间距”是3．(1)已知点
．①若三点
的“最佳间距”是2，写出一个满足条件的点的坐标；②直接写出三点间的“最佳间距”的最大值．
(2)已知点
，点的坐标是，求三点的“最佳间距”的最大值及相应的点的坐标；
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5 . （1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，
于点D，且
，
，求的最小值；，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，
，将其分为三个区域．已知
，
，
，若保持
，试求四边形
面积的最大值．
于点D，且，，求的最小值；
，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值．
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6 . 直线与
相切于点C，弦
，若D是上的一个动点，且使
，则下列结论错误的是（ ）
与相切于点C，弦，若D是上的一个动点，且使，则下列结论错误的是（ ）A． 的最大值是4 | B．当 时， |
| C．的最小值是2 | D．当时， |
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7 . 如图1，把一个含45°角的直角三角板
和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连接
，取的中点M，
的中点N，连接
．和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边
上，判断
与
之间的数量关系；
(2)若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在
的延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由
(3)若
，
，连接
，在摆放的过程中，
的面积存在最大值
和最小值
，请直接写出和的值．
和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连接，取的中点M，的中点N，连接．
和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边上，判断与之间的数量关系；(2)若直角三角板
和正方形如图2摆放，点E、F分别在的延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由(3)若
，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值．
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8 . 在平面直角坐标系 中，已知的半径为
．对于上的点 
和平面内的直线 
给出如下定义：点关于直线
的对称点记为
，若射线
上的点
满足 
则称点为点关于直线的“衍生点”．
时，已知上两点 
在点
， 
中，点
关于直线的“衍生点”是 ，点
关于直线的“衍生点”是 ；
(2)为 上任意一点， 直线
与
轴， 
轴的交点分别为点 
，． 若线段上存在点
，
，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出
的取值范围；
(3)当
时，若过原点的直线
上存在线段 ，对于线段 上任意一点
，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为
，对于所有的直线，直接写出的最小值．
中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”．
时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ；(2)
为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；(3)当
时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．
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9 . 【提出问题】如图①，与
的两边
，相切于点P，Q，则
，
的数量关系为________．
【探究问题】如图②，矩形的边
，，点P在上，连接，
，求
的最大值．
【问题解决】如图③，慕梓睿和格格在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔直的木条，让一圆盘在木条上做无滑动的滚动，将一根弹性良好的橡皮筋的两端固定在木条的两端点处，再紧绷在圆盘边上，此时，，
，分别与圆盘相切于点C，D，E，当圆盘滚动时橡皮筋也随之伸缩变化（即
的长度会发生变化）．已知
，圆盘直径为
，请你帮助慕梓睿和格格探究：的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由．
与的两边，相切于点P，Q，则，的数量关系为________．【探究问题】如图②，矩形
的边，，点P在上，连接，，求的最大值．【问题解决】如图③，慕梓睿和格格在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔直的木条
，让一圆盘在木条上做无滑动的滚动，将一根弹性良好的橡皮筋的两端固定在木条的两端点处，再紧绷在圆盘边上，此时，，，分别与圆盘相切于点C，D，E，当圆盘滚动时橡皮筋也随之伸缩变化（即的长度会发生变化）．已知，圆盘直径为，请你帮助慕梓睿和格格探究：的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由．
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10 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为
，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
(2)连接，点M是线段上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作
，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作
轴，垂足为H，交于点F，点P是线段
上一动点，当
的周长取得最大值时，求
的最小值；
(3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点P向下平移
个单位得到点Q，连接
，把
绕点O顺时针旋转一定的角度
，得到
，其中边
交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得
？若存在，请直接写出所有满足条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
(2)连接
，点M是线段上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作轴，垂足为H，交于点F，点P是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；(3)在（2）中，当
的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连接，把绕点O顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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