1 . 【初步探究】
1．如图1，四边形是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（       ）

A．；B．
C．；D．
【深入探究】
2．如图2，正方形的边长为4，的半径为2，点P是上一动点，连接，，，设，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）

①求的最小值；
②直接写出的最大值，并直接写出此时的长．

2 . 已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、．

   

知识回顾
（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长；
初步探索
（2）直接写出的最小值是             ，最大值是             ；
操作并思考
（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由；
（4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．

3 . 如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边的边长为，分别以为圆心，为半径作，为的中心．

(1)若为上任意一点，则的最小值为______，最大值为______．
(2)转子沿圆转动时，始终保持与相切，的半径为，的半径为，当圆心在线段的延长线上时，求两点间的距离的平方．

4 . 问题提出
（1）如图①，在中，，，，过点作，垂足为，则的面积是       ；
问题探究
（2）如图②，在中，，的面积为，为边上任意一点，，分别与点关于，对称，求出五边形周长的最小值；
问题解决
（3）某公园内有一块梯形空地，如图③所示，现计划在该空地中种植花草，已知，点，，分别在边，，上，点到的距离为米，米，，，，．根据设计要求，需要在区域内种植元平方米的花卉，其余区域内种植草坪，为提高花卉区域的观赏范围，需将的面积设计得尽可能大．试问的面积是否存在最大值？若存在，求此时种植花卉的总费用；若不存在，请说明理由．（参考数据：）

5 . （1）如图1，已知半径是4，A是上一动点，，则的最大值是　　　　．
（2）如图2，在中，，，，点D是边上一动点，连接DB，过点A作于点F，连接，求的最小值．
（3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上区确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价高达1100元/米，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低费用．