1 . 如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ___________．

3 . 如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，点B关于的对称点为，连接．若的最大值与最小值之比为2，则的长为______．

4 . 在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，．

(1)填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______；
(2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长；
(3)若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)．

5 . 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）【问题发现】：如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是___________．
（2）①【问题探究】：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为___________；线段与之间的数量关系是___________．
②【问题探究】：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由．
【问题解决】
（3）如图4，在四边形中，，求四边形面积的最大值．

8 . 【材料阅读】
若，求m和n的值．
解：由题意得．
．
解得，．
【问题解决】
(1)对于代数式，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值；
(2)已知的边长a，b，c满足，若c是最长边且为偶数，求的周长．

9 . 在平面直角坐标系中，对于任意三点给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”：若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．
已知：如图，点，点．

(1)在中，与点为等距点的是______；
(2)点为轴上一动点，若三点为等距点，求的值；
(3)已知点，有一半径为1，圆心为的，若上存在点，使得三点为等距点，直接写出的取值的范围．

10 . 如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为________________.