1 . 【初步探究】
1．如图1，四边形是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（       ）

A．；B．
C．；D．
【深入探究】
2．如图2，正方形的边长为4，的半径为2，点P是上一动点，连接，，，设，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）

①求的最小值；
②直接写出的最大值，并直接写出此时的长．

2 . 已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、．

   

知识回顾
（1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长；
初步探索
（2）直接写出的最小值是             ，最大值是             ；
操作并思考
（3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由；
（4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长．

3 . 如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于图2所示的曲边三角形，其中等边的边长为，分别以为圆心，为半径作，为的中心．

(1)若为上任意一点，则的最小值为______，最大值为______．
(2)转子沿圆转动时，始终保持与相切，的半径为，的半径为，当圆心在线段的延长线上时，求两点间的距离的平方．

4 . 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（       ）

A．	B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为	D．若，的最大值为

7 . （1）如图1，已知半径是4，A是上一动点，，则的最大值是　　　　．
（2）如图2，在中，，，，点D是边上一动点，连接DB，过点A作于点F，连接，求的最小值．
（3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上区确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价高达1100元/米，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低费用．

8 . 如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（       ）．

A．有最大值为

B．有最小值为

C．有最大值为

D．有最小值为