名校
1 . 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后,想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立.他先根据命题画出图形,并用符号表示已知,求证.
已知:如图,在四边形中,.
求证:点在同一个圆上.
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”,先作出一个过三个顶点的,再证明第四个顶点也在上.
具体过程如下:
步骤一 作出过三点的.
如图1,分别作出线段的垂直平分线,
设它们的交点为,以为圆心,的长为半径作.
连接,
(①______).(填推理依据)
.
点在上.
步骤二 用反证法证明点也在上.
假设点不在上,则点在内或外.
ⅰ.如图2,假设点在内.
延长交于点,连接.
(②______).(填推理依据)
是的外角,
(③______).(填推理依据)
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在内.
ⅱ.如图3,假设点在外.
设与交于点,连接.
.
是的外角,
.
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在外.
综上所述,点在上.
点在同一个圆上.
阅读上述材料,并解答问题:
(1)根据步骤一,补全图1(要求:尺规作图,保留作图痕迹);
(2)填推理依据:①______,②______,③______.
已知:如图,在四边形中,.
求证:点在同一个圆上.
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”,先作出一个过三个顶点的,再证明第四个顶点也在上.
具体过程如下:
步骤一 作出过三点的.
如图1,分别作出线段的垂直平分线,
设它们的交点为,以为圆心,的长为半径作.
连接,
(①______).(填推理依据)
.
点在上.
步骤二 用反证法证明点也在上.
假设点不在上,则点在内或外.
ⅰ.如图2,假设点在内.
延长交于点,连接.
(②______).(填推理依据)
是的外角,
(③______).(填推理依据)
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在内.
ⅱ.如图3,假设点在外.
设与交于点,连接.
.
是的外角,
.
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在外.
综上所述,点在上.
点在同一个圆上.
阅读上述材料,并解答问题:
(1)根据步骤一,补全图1(要求:尺规作图,保留作图痕迹);
(2)填推理依据:①______,②______,③______.
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2024-01-13更新
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187次组卷
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2卷引用:北京市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
2 . 数学课上,王老师布置如下任务:如图,已知,点是射线上的一个定点,在射线上求作点在和之间),使.
下面是小路设计的尺规作图过程.
作法:作线段的垂直平分线l,直线l交射线于点C,则点C即为所求.
根据小路设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:连接,
∵直线l为线段的垂直平分线,
∴ ,( )(填推理的依据)
∴,
∴( )(填推理的依据)
(3)能否在射线上再求作点,使.若能简要说明作法,并使用直尺和圆规画出图形.
下面是小路设计的尺规作图过程.
作法:作线段的垂直平分线l,直线l交射线于点C,则点C即为所求.
根据小路设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:连接,
∵直线l为线段的垂直平分线,
∴ ,( )(填推理的依据)
∴,
∴( )(填推理的依据)
(3)能否在射线上再求作点,使.若能简要说明作法,并使用直尺和圆规画出图形.
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名校
3 . 尺规作图之旅
如图1是一副纯手绘的画作,其中用到的主要工具就是直尺和圆规,在数学中,我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形.
尺规作图起源于古希腊的数学课题,只允许使用圆规和直尺,来解决平面几何作图问题.
(1)还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗?那就是“作一条线段等于已知线段”,接着,我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线,作角平分线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关,下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理,请补全过程.
已知:如图2,
求作:使
①如图,以为圆心,以______为半径画弧,分别交,于点,;
②画一条射线,以点为圆心,以______长为半径画弧,交于点;
③以______为圆心,以______长为半径画弧,交前面的弧于点,
④作射线,就是所求作的角.
(2)如图3,4,过点画射线,则.
说理:由作法得已知:,,
求证:
证明:∵
∴(______)
所以(______)
(3)(小试牛刀)请按照上面的范例,完成尺规作图:①在图2中画出的角平分线.
②在图5中直线上找到一点,使它到点A,点的距离相等.
如图1是一副纯手绘的画作,其中用到的主要工具就是直尺和圆规,在数学中,我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形.
尺规作图起源于古希腊的数学课题,只允许使用圆规和直尺,来解决平面几何作图问题.
(1)还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗?那就是“作一条线段等于已知线段”,接着,我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线,作角平分线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关,下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理,请补全过程.
已知:如图2,
求作:使
①如图,以为圆心,以______为半径画弧,分别交,于点,;
②画一条射线,以点为圆心,以______长为半径画弧,交于点;
③以______为圆心,以______长为半径画弧,交前面的弧于点,
④作射线,就是所求作的角.
(2)如图3,4,过点画射线,则.
说理:由作法得已知:,,
求证:
证明:∵
∴(______)
所以(______)
(3)(小试牛刀)请按照上面的范例,完成尺规作图:①在图2中画出的角平分线.
②在图5中直线上找到一点,使它到点A,点的距离相等.
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4 . 尺规作图之旅:如图是一副纯手绘的画作,其中用到的主要工具就是直尺和圆规,在数学中,我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形.尺规作图起源于古希腊的数学课题,只允许使用圆规和直尺,来解决平面几何作图问题.
(1)还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗?那就是“作一条线段等于已知线段”,接着,我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线,作角平分线而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关,下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理,请补全过程.
已知:如图,,
求作:使.
作法:①如图,以为圆心,以______为半径画弧,分别交,于点,;
②画一条射线,以点为圆心,以______长为半径画弧,交于点;
③以______为圆心,以______长为半径画弧,交前面的弧于点,
④作射线,就是所求作的角.
(2)如图,,过点画射线,则,
说理:由作法得已知:,,,
求证:,
证明:,
≌.(______)
所以 .(______)
(3)请按照上面的范例,完成尺规作图:
①在图中画出的角平分线;
②在图中直线上找到一点,使它到点A,点的距离相等.
(1)还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗?那就是“作一条线段等于已知线段”,接着,我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线,作角平分线而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关,下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理,请补全过程.
已知:如图,,
求作:使.
作法:①如图,以为圆心,以______为半径画弧,分别交,于点,;
②画一条射线,以点为圆心,以______长为半径画弧,交于点;
③以______为圆心,以______长为半径画弧,交前面的弧于点,
④作射线,就是所求作的角.
(2)如图,,过点画射线,则,
说理:由作法得已知:,,,
求证:,
证明:,
≌.(______)
所以 .(______)
(3)请按照上面的范例,完成尺规作图:
①在图中画出的角平分线;
②在图中直线上找到一点,使它到点A,点的距离相等.
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5 . 尺规作图:
已知:如图1,直线MN和直线MN外一点P.
求作:直线PQ,使直线PQMN.
小智的作图思路如下:
①如何得到两条直线平行?
小智想到,自己学习线与角的时候,有4个定理可以证明两条直线平行,其中有“内错角相等,两条直线平行”.
②如何得到两个角相等?
小智先回顾了线与角的内容,找到了几个定理和1个概念,可以得到两个角相等.小智又回顾了三角形的知识,也发现了几个可以证明两个角相等的定理.最后,小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”.
③画出示意图:
④根据示意图,确定作图顺序.
(1)使用直尺和圆规,按照小智的作图思路补全图形1(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明:
证明:∵AB平分∠PAN,
∴∠PAB=∠NAB.
∵PA =PQ,
∴∠PAB=∠PQA ( ① ).
∴∠NAB =∠PQA.
∴PQMN ( ② ).
(3)参考小智的作图思路和流程,另外设计一种作法,利用直尺和圆规在图2中完成.(温馨提示:保留作图痕迹,不用写作法和证明)
已知:如图1,直线MN和直线MN外一点P.
求作:直线PQ,使直线PQMN.
小智的作图思路如下:
①如何得到两条直线平行?
小智想到,自己学习线与角的时候,有4个定理可以证明两条直线平行,其中有“内错角相等,两条直线平行”.
②如何得到两个角相等?
小智先回顾了线与角的内容,找到了几个定理和1个概念,可以得到两个角相等.小智又回顾了三角形的知识,也发现了几个可以证明两个角相等的定理.最后,小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”.
③画出示意图:
④根据示意图,确定作图顺序.
(1)使用直尺和圆规,按照小智的作图思路补全图形1(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明:
证明:∵AB平分∠PAN,
∴∠PAB=∠NAB.
∵PA =PQ,
∴∠PAB=∠PQA ( ① ).
∴∠NAB =∠PQA.
∴PQMN ( ② ).
(3)参考小智的作图思路和流程,另外设计一种作法,利用直尺和圆规在图2中完成.(温馨提示:保留作图痕迹,不用写作法和证明)
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名校
6 . 数学活动课上,小明同学根据学习函数的经验,对函数的图象、性质进行了探究.如图1,已知在中,,,,点P为AB边上的一个动点,连接PC,设,,
(1)当时,则 x= ;y= ;
(2)填表:
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)(参考数据:;).
(3)试求y与x之间的函数关系式;
a、建立平面直角坐标系,如图2,描出剩余的点,并用光滑的曲线画出该函数的图象;
b、结合画出的函数图象,写出该函数的两条性质:
① ;
② .
(1)当时,则 x= ;y= ;
(2)填表:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 |
y/cm | 2 | 1.8 | 1.7 | 2 | 2.3 | 2.6 | 3 |
(3)试求y与x之间的函数关系式;
a、建立平面直角坐标系,如图2,描出剩余的点,并用光滑的曲线画出该函数的图象;
b、结合画出的函数图象,写出该函数的两条性质:
① ;
② .
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2022-03-12更新
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212次组卷
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2卷引用:江西省南昌市财大附中2021-2022学年九年级上学期期末联考数学试题
7 . 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
求作:直线的垂线,使它经过点P.
作法:
①以P为圆心,大于P到直线l的距离为半径作弧,交直线l于A,B两点:
②连接和;
③作的角平分线,交直线l于点Q;
④作直线.
∴直线就是所求的直线.
根据小芳设计的尺规作图过程,解答下列问题:
(1)使用直尺和圆规,补全图(保留作图痕迹);
(2)写出证明过程和依据.
已知:如图,直线及直线外一点P.
求作:直线的垂线,使它经过点P.
作法:
①以P为圆心,大于P到直线l的距离为半径作弧,交直线l于A,B两点:
②连接和;
③作的角平分线,交直线l于点Q;
④作直线.
∴直线就是所求的直线.
根据小芳设计的尺规作图过程,解答下列问题:
(1)使用直尺和圆规,补全图(保留作图痕迹);
(2)写出证明过程和依据.
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名校
8 . 如图,在中,(1)尺规作图:作的角平分线交于点D,并在射线上另取一点E(不与A重合),使得,连接;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作图形中,若D恰为线段的中点,求证;.(请补全下面的证明过程,不写证明理由)
证明:∵D为中点
∴
∴在和中
∴
∴
∴,
又∵是的角平分线
∴②
∴
∴③
又∵
∴
由此发现一个结论,请完成下列命题:
如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线,那么④ .
(2)在(1)所作图形中,若D恰为线段的中点,求证;.(请补全下面的证明过程,不写证明理由)
证明:∵D为中点
∴
∴在和中
∴
∴
∴,
又∵是的角平分线
∴②
∴
∴③
又∵
∴
由此发现一个结论,请完成下列命题:
如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线,那么④ .
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名校
9 . 如图,在中,,,作线段的垂直平分线,交于点D,交于点E.(1)依题意补全图形;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:.
(2)求证:.
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2024-03-31更新
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157次组卷
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4卷引用:2024年河南省安阳市安阳县中招模拟第一次联考数学模拟预测题
名校
10 . 已知四边形为正方形,点在边上,连接.
(1)尺规作图:过点作于点,交于点(保留作图痕迹,不写作法,不下结论);
(2)求证:.(请补全下面的证明过程)
证明:∵正方形,
∴,________,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴________,
在与中,( )里填________
∴(),
∴.
通过上面的操作,进一步探究得到这样的结论:两端点在正方形的一组对边上且______的线段长相等.
(1)尺规作图:过点作于点,交于点(保留作图痕迹,不写作法,不下结论);
(2)求证:.(请补全下面的证明过程)
证明:∵正方形,
∴,________,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴________,
在与中,( )里填________
∴(),
∴.
通过上面的操作,进一步探究得到这样的结论:两端点在正方形的一组对边上且______的线段长相等.
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