1 . 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形中，．
   
求证：点在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点的，再证明第四个顶点也在上．
具体过程如下：
步骤一   作出过三点的．
如图1，分别作出线段的垂直平分线，
   


设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作．
连接，
（①______）．（填推理依据）
．
点在上．
步骤二   用反证法证明点也在上．
假设点不在上，则点在内或外．
ⅰ．如图2，假设点在内．
   


延长交于点，连接．
（②______）．（填推理依据）
是的外角，
（③______）．（填推理依据）
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在内．
ⅱ．如图3，假设点在外．
   


设与交于点，连接．
．
是的外角，
．
．
．
这与已知条件矛盾．
假设不成立．即点不在外．
综上所述，点在上．
点在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填推理依据：①______，②______，③______．

2 . 尺规作图：
已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQMN．

小智的作图思路如下：
①如何得到两条直线平行？
小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．
②如何得到两个角相等？
小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．
③画出示意图：

④根据示意图，确定作图顺序．

（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （     ① ）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （     ② ）．
（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）

3 . 如图，在中，

(1)尺规作图：作的角平分线交于点D，并在射线上另取一点E（不与A重合），使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，若D恰为线段的中点，求证；．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵D为中点
∴
∴在和中
∴
∴
∴，
又∵是的角平分线
∴②                      
∴
∴③                      
又∵
∴
由此发现一个结论，请完成下列命题：
如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线，那么④               ．

4 . 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．

(1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：
已知：________________________________________．
求证：．
(2)补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹）
∵直线是线段的垂直平分线，
∴．（________________________________）（填推理依据）．
∴．（________________________________）（填推理依据）．
∵，
∴．
∵中，，，
∴．（________________________________）（填推理依据）．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴（________________________________）（填推理依据）．
∴，
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴________．
∴．

5 . 综合与实践
【动手操作】
数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线，使得．小明同学设计的做法如下：
①在直线l上取两点B、C，连接，以点B为圆心，小于的长度为半径作弧，交线段于点D，交线段于点E；
②分别以点D和E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线BF；
③以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线于点P，作直线．
则直线平行于直线l．

（1）根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
【验证证明】
（2）请证明直线；
【拓展延伸】
（3）已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接，，请直接写出与的面积关系_______；
【应用实践】
（4）某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形空地上划出20km²区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形中，，km，km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段上取一点E使得四边形的面积为20km²，则______km．

6 . 如图，在平行四边形中，，．

(1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点(只保留作图痕迹)；
(2)在（1）所作的图形中，求证：．(思路是通过证明两个三角形全等得出对应线段相等，请补全下面的证明过程．
证明：，，
．
．
　　．

．
又，
　　．
．
四边形是平行四边形，
　　，

．
在和中，
，
，
．

7 . 在矩形中，和相交于O点，．

(1)尺规作图：在线段上求作点E，使；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接并延长交于点F，连接并延长交于点G，连接，请在图中补全图形并证明四边形是菱形．

8 . 如图，当时，求作直线l上一点P，使。
   
小高的做法为：
①作出的外接圆，圆心为M；
②作出线段的垂直平分线，与的交点为O；
③以O为圆心，的长为半径画圆，与直线l交点就是使的点P．
老师说小高的做法是正确的．
根据小高设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，
∵是的外接圆，又在中，   ∴．
∵是的垂直平分线   ∴（______）（填写推理的依据），
∴点B也在以O为圆心，以为半径的圆上，
对于，   ∴（______）（填写推理依据）．

9 . 在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理．
以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法．

方法1： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）连接； （3）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作射线． 所以射线即为的平分线．

方法2： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）在射线上分别截取，使； （2）分别过点作的垂线，两垂线交于点； （3）作射线． 所以射线即为的平分线．

请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题：
(1)请证明方法1中的是的平分线；
(2)①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）；
②写出方法2中是的平分线的依据．

10 . 阅读下面材料，完成相应任务：
尺规作图
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线，射线或线段．圆规用来画弧，圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形．
在数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法．

已知：求作：的平分线．
小明的作法：如图①，在射线上取点，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接交于点，过点画射线，则射线为的平分线．
小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线．

赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，在感受教材作法简洁的同时体会它们的共同之处，即基于角的轴对称性构造全等三角形，得出两个相等的角．
任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出这一结论所依据的数学定理或基本事实．
任务二：根据小华的思路完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，在图②中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据小华的作法，证明是的平分线．