名校
1 . 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后,想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立.他先根据命题画出图形,并用符号表示已知,求证.
已知:如图,在四边形中,.
求证:点在同一个圆上.
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”,先作出一个过三个顶点的,再证明第四个顶点也在上.
具体过程如下:
步骤一 作出过三点的.
如图1,分别作出线段的垂直平分线,
设它们的交点为,以为圆心,的长为半径作.
连接,
(①______).(填推理依据)
.
点在上.
步骤二 用反证法证明点也在上.
假设点不在上,则点在内或外.
ⅰ.如图2,假设点在内.
延长交于点,连接.
(②______).(填推理依据)
是的外角,
(③______).(填推理依据)
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在内.
ⅱ.如图3,假设点在外.
设与交于点,连接.
.
是的外角,
.
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在外.
综上所述,点在上.
点在同一个圆上.
阅读上述材料,并解答问题:
(1)根据步骤一,补全图1(要求:尺规作图,保留作图痕迹);
(2)填推理依据:①______,②______,③______.
已知:如图,在四边形中,.
求证:点在同一个圆上.
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”,先作出一个过三个顶点的,再证明第四个顶点也在上.
具体过程如下:
步骤一 作出过三点的.
如图1,分别作出线段的垂直平分线,
设它们的交点为,以为圆心,的长为半径作.
连接,
(①______).(填推理依据)
.
点在上.
步骤二 用反证法证明点也在上.
假设点不在上,则点在内或外.
ⅰ.如图2,假设点在内.
延长交于点,连接.
(②______).(填推理依据)
是的外角,
(③______).(填推理依据)
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在内.
ⅱ.如图3,假设点在外.
设与交于点,连接.
.
是的外角,
.
.
.
这与已知条件矛盾.
假设不成立.即点不在外.
综上所述,点在上.
点在同一个圆上.
阅读上述材料,并解答问题:
(1)根据步骤一,补全图1(要求:尺规作图,保留作图痕迹);
(2)填推理依据:①______,②______,③______.
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2024-01-13更新
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190次组卷
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2卷引用:北京市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
2 . 尺规作图:
已知:如图1,直线MN和直线MN外一点P.
求作:直线PQ,使直线PQMN.
小智的作图思路如下:
①如何得到两条直线平行?
小智想到,自己学习线与角的时候,有4个定理可以证明两条直线平行,其中有“内错角相等,两条直线平行”.
②如何得到两个角相等?
小智先回顾了线与角的内容,找到了几个定理和1个概念,可以得到两个角相等.小智又回顾了三角形的知识,也发现了几个可以证明两个角相等的定理.最后,小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”.
③画出示意图:
④根据示意图,确定作图顺序.
(1)使用直尺和圆规,按照小智的作图思路补全图形1(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明:
证明:∵AB平分∠PAN,
∴∠PAB=∠NAB.
∵PA =PQ,
∴∠PAB=∠PQA ( ① ).
∴∠NAB =∠PQA.
∴PQMN ( ② ).
(3)参考小智的作图思路和流程,另外设计一种作法,利用直尺和圆规在图2中完成.(温馨提示:保留作图痕迹,不用写作法和证明)
已知:如图1,直线MN和直线MN外一点P.
求作:直线PQ,使直线PQMN.
小智的作图思路如下:
①如何得到两条直线平行?
小智想到,自己学习线与角的时候,有4个定理可以证明两条直线平行,其中有“内错角相等,两条直线平行”.
②如何得到两个角相等?
小智先回顾了线与角的内容,找到了几个定理和1个概念,可以得到两个角相等.小智又回顾了三角形的知识,也发现了几个可以证明两个角相等的定理.最后,小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”.
③画出示意图:
④根据示意图,确定作图顺序.
(1)使用直尺和圆规,按照小智的作图思路补全图形1(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明:
证明:∵AB平分∠PAN,
∴∠PAB=∠NAB.
∵PA =PQ,
∴∠PAB=∠PQA ( ① ).
∴∠NAB =∠PQA.
∴PQMN ( ② ).
(3)参考小智的作图思路和流程,另外设计一种作法,利用直尺和圆规在图2中完成.(温馨提示:保留作图痕迹,不用写作法和证明)
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3 . 已知:平行四边形,
求作:菱形,使点E、F分别在边上.
下面是小明设计的尺规作图过程
作法:如图,①连接;
②分别以A、C为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于M、N两点;
③连接,分别与交于E、F、O三点;
④连接.
四边形即为所求.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形:(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵__________,___________.
∴是的垂直平分线,
∴,,
∵四边形是平行四边形,
∴.
∴.
在和中,
∴.
∴
又∵
∴四边形是平行四边形,(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵,
∴四边形是菱形.(______________)(填推理的依据)
求作:菱形,使点E、F分别在边上.
下面是小明设计的尺规作图过程
作法:如图,①连接;
②分别以A、C为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于M、N两点;
③连接,分别与交于E、F、O三点;
④连接.
四边形即为所求.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形:(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵__________,___________.
∴是的垂直平分线,
∴,,
∵四边形是平行四边形,
∴.
∴.
在和中,
∴.
∴
又∵
∴四边形是平行四边形,(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵,
∴四边形是菱形.(______________)(填推理的依据)
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4 . 下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程
已知:
求作: 边上的中线.
作法:如图,(1)分别以点为圆心, 长为半径作弧,两弧相交于点;
(2)作直线,与交于点,所以线段就是所求作的中线.
根据上述的作法,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明
证明: ∵
∴四边形是平行四边形(① )
∵ 与交于点
∴(② )
∴是的中线.
已知:
求作: 边上的中线.
作法:如图,(1)分别以点为圆心, 长为半径作弧,两弧相交于点;
(2)作直线,与交于点,所以线段就是所求作的中线.
根据上述的作法,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明
证明: ∵
∴四边形是平行四边形(① )
∵ 与交于点
∴(② )
∴是的中线.
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5 . 下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程.
已知:线段.
求作:等边三角形.
作法:如图,
①以点A为圆心,以的长为半径作;
②以点B为圆心,以的长为半径作,交于C;
③连接.
所以就是所求作的三角形.根据小方设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:∵点B,C在上,
∴(_____________)(填推理的依据).
同理∵点A,C在上,
∴.
∴______=_______=_______.
∴是等边三角形.(_____________)(填推理的依据).
已知:线段.
求作:等边三角形.
作法:如图,
①以点A为圆心,以的长为半径作;
②以点B为圆心,以的长为半径作,交于C;
③连接.
所以就是所求作的三角形.根据小方设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:∵点B,C在上,
∴(_____________)(填推理的依据).
同理∵点A,C在上,
∴.
∴______=_______=_______.
∴是等边三角形.(_____________)(填推理的依据).
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6 . 在学习了全等三角形和尺规作图知识以后,老师布置了一道关于作角平分线的思考题.要求不用书中作角平分线的方法,使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法.并说明其中的数学原理.
以下是某小组交流讨论之后,小组代表汇报本组的两种方法.
请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题:
(1)请证明方法1中的是的平分线;
(2)①依照方法2补全图形(保留作图痕迹);
②写出方法2中是的平分线的依据.
以下是某小组交流讨论之后,小组代表汇报本组的两种方法.
方法1: 已知:. 求作:射线,使它平分. 作法:如图, (1)以点为圆心,适当长为半径作弧,交于点,交于点; (2)连接; (3)分别以点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点; (4)作射线. 所以射线即为的平分线. |
方法2: 已知:. 求作:射线,使它平分. 作法:如图, (1)在射线上分别截取,使; (2)分别过点作的垂线,两垂线交于点; (3)作射线. 所以射线即为的平分线. |
(1)请证明方法1中的是的平分线;
(2)①依照方法2补全图形(保留作图痕迹);
②写出方法2中是的平分线的依据.
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名校
7 . 如图,中,以为圆心,的长为半径画弧,交于点,作的角平分线,交于点,连接.(1)依题意补全图形(尺规作图,保留作图痕迹);
(2)求证:四边形是菱形.
(2)求证:四边形是菱形.
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名校
8 . 尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线.
已知:如图,直线和直线外一点.
求作:直线,使得,且经过点.作法:
①在直线上任取一点,以点为圆心,任意长为半径作弧,交于点;
②连接,分别以为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于,两点;
③作直线,交于点;
④作射线,在线段的延长线上取点,使得;
⑤作直线,则即为所求作直线.(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:连接,,
∵是线段的垂直平分线,垂足为,
∴.
又∵,
∴四边形为( )(用汉字填四边形名称)
(_____________________)(填推理依据).
∴(___________________)(填推理依据).
即.
已知:如图,直线和直线外一点.
求作:直线,使得,且经过点.作法:
①在直线上任取一点,以点为圆心,任意长为半径作弧,交于点;
②连接,分别以为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于,两点;
③作直线,交于点;
④作射线,在线段的延长线上取点,使得;
⑤作直线,则即为所求作直线.(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:连接,,
∵是线段的垂直平分线,垂足为,
∴.
又∵,
∴四边形为( )(用汉字填四边形名称)
(_____________________)(填推理依据).
∴(___________________)(填推理依据).
即.
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9 . 下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程.
已知:平行四边形.
求作:,垂足为E.
作法:如图所示,
①连接,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;
②作直线,交于点O;
③以点O为圆心,长为半径作圆,交线段于点E(点E不与点C重合),连接.
所以线段就是所求作的高.
根据小宁设计的尺规作图过程,解决问题:
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:,________,
点P、Q都在线段的垂直平分线上,
直线为线段的垂直平分线,
O为中点.
为直径,与线段交于点E,
_______( )(填推理的依据)
.
已知:平行四边形.
求作:,垂足为E.
作法:如图所示,
①连接,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;
②作直线,交于点O;
③以点O为圆心,长为半径作圆,交线段于点E(点E不与点C重合),连接.
所以线段就是所求作的高.
根据小宁设计的尺规作图过程,解决问题:
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:,________,
点P、Q都在线段的垂直平分线上,
直线为线段的垂直平分线,
O为中点.
为直径,与线段交于点E,
_______( )(填推理的依据)
.
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10 . 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想:“在直角三角形中,角所对的直角边是斜边的一半.”并进行了如下的探究,请完善小明的探究过程.
(1)结合图形,将小明猜想的命题写成已知、求证:
已知:________________________________________.
求证:.
(2)补全上述猜想的证明过程.
证明:作线段的垂直平分线,交于点D,交于点E,连接.(在图中用尺规作图,并保留作图痕迹)
∵直线是线段的垂直平分线,
∴.(________________________________)(填推理依据).
∴.(________________________________)(填推理依据).
∵,
∴.
∵中,,,
∴.(________________________________)(填推理依据).
∴.
∴.
∵,,
∴.
在和中,
,
∴(________________________________)(填推理依据).
∴,
∵直线DE是线段AB的垂直平分线,
∴________.
∴.
(1)结合图形,将小明猜想的命题写成已知、求证:
已知:________________________________________.
求证:.
(2)补全上述猜想的证明过程.
证明:作线段的垂直平分线,交于点D,交于点E,连接.(在图中用尺规作图,并保留作图痕迹)
∵直线是线段的垂直平分线,
∴.(________________________________)(填推理依据).
∴.(________________________________)(填推理依据).
∵,
∴.
∵中,,,
∴.(________________________________)(填推理依据).
∴.
∴.
∵,,
∴.
在和中,
,
∴(________________________________)(填推理依据).
∴,
∵直线DE是线段AB的垂直平分线,
∴________.
∴.
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