1 . 如图，已知线段，且，求作矩形．小明的作法如下：①以A为圆心，长为半径画弧；②以C为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点D，连接．于是就作出了矩形．

(1)尺规作图补全图形；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
(2)补全下述证明过程：
∵，______．
∴四边形是平行四边形．
又∵           ，
∴平行四边形是矩形．（_______）

2 . 我们把有一组邻边相等，一组对边平行但不相等的四边形称作“仿菱形”

(1)证明“仿菱形”性质：“仿菱形”的一条对角线平分一个内角．（要求：根据图1补全已知，写出求证，并写出完整的证明过程）
已知：如图，在“仿菱形”中，______．
求证：______ ．
证明：
(2)如图2，在中，，，，若点D，E分别在边上，且四边形为“仿菱形”．
①尺规作图：作出当时的“仿菱形”；保留作图痕迹，不写作法
②求出此时的长．

3 . 若一条直线经过三角形的一个顶点，且将这个三角形的周长分成相等的两部分，则称这条直线为该三角形的等分线，等分线被这个三角形截得的线段称为该三角形的截径．例如等腰三角形底边上的中线即为它的截径．
   
(1)若等腰三角形中，，过点的截径长为3，则      ．
(2)如图1，四边形中，为边上一点，，，过点作于点，求证：直线为的等分线；
(3)如图2，中，，，为的等分线，是边的中点，在边上求作一点，使为的等分线；
①按题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②若的面积为，的面积为，试直接写出的值．

4 . 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图，是的直径．
求作：的内接等腰直角三角形．
作法：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；
②作射线交于点C；
③连接．
所以就是所求作的等腰直角三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明是等腰直角三角形．

5 . 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点；求作：过点作切线．
作法：①连接，作的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，长为半径作圆，交于点、两点；
③作直线、，则、即为的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程：

(1)用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明：为的切线．

6 . 下面是小石设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在中，．求作：矩形ABCD．
作法：
如图，1．以点B为圆心，AC长为半径作弧；
2．以点A为圆心，BC长为半径作弧；
3．两弧交于点D，C、D在AB同侧；
4．连接AD、CD．所以四边形ABCD是矩形．
根据小石设计的尺规作图过程：

(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接BD，在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形（____________）（填理论依据）．
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．（____________）（填理论依据）．

7 . 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a和线段b．
求作：，使得，，边上的中线为b．
作法：如图2，
①作射线，并在射线上截取；
②作线段的垂直平分线，交于D；
③以D为圆心，b为半径作弧，交于A；
④连接和．
则为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形；
(2)完成下面的证明：
证明：由作图可知，．
∵为线段的垂直平分线，点A在上，
∴（ ）（填依据）．
又∵线段的垂直平分线交BC于D，
∴      ＝       ．
∴为边上的中线，且．

8 . 下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；
3、连接AD，CD．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明（括号里填推理的依据）．
证明：∵AB＝______，BC＝______，
∴四边形ABCD是平行四边形（_______）．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（________）．

9 . 下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在中，，平分交AC于点D．
求作：，使．
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；
②以点O为圆心，OB的长为半径作；
③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．
所以．根据小玟设计的尺规作图过程．

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵，BD平分，
∴且．（___________）（填推理的依据）．
∴．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴____________．
∴．
∴为的外接圆．
∵点P在上，
∴（___________）（填推理的依据）．