1 . 数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，，，，点P为AB边上的一个动点，连接PC，设，，

(1)当时，则 x＝      ；y＝      ；
(2)填表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
y/cm	2	1.8	1.7		2	2.3	2.6	3

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（参考数据：；）．
(3)试求y与x之间的函数关系式；
a、建立平面直角坐标系，如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象；
b、结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
①                           ；
②                           ．

2 . 已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上．

作法：如图，①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点；
②作直线交于点，与分别交于点；
③连接．
所以四边形就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵，
∴是的垂直平分线        （填推理根据）．
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∴        ．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形        （填推理根据）．
又∵，
∴四边形是菱形        （填推理根据）．

3 . 已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的平分线所在直线与直线相交于点．
   
(1)如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
(2)在（1）的条件下，
①的度数为________；
②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明；
(3)若正方形的边长，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，取一点，连接，作线段的垂直平分线，过点B作x轴的垂线，记，的交点为P.
      
(1)当时，在图中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)小明多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现这些点P竟然在一条曲线L上. 设点P的坐标为，试求y与x之间的关系式；
(3)①设点P到x轴，y轴的距离分别为，，则的范围是              ；当时，点P的坐标为              ；
②将曲线L在直线下方的部分沿直线向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线与这条“W”形状的新曲线有4个交点，则k的取值范围是                        .

5 . 欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．

如图1，设点是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接，作线段的中点；
②以为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；
③连接、，则、是圆的切线．
(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；
(3)如图2，连接并延长交圆于点，连接，已知，，求圆的半径．

6 . 阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．

(1)图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹．
①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点
②如图2，点A、B、C为格点，作出；
(2)借助（1）中画图的经验解决下面的问题：如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹．
①如图3，点E、F分别在上，，连接，请在上画点O，使点O为的中点；
②如图4，若，点E为上一点，请在上画点G，使；
③如图5，在②的条件下，若，连接，点P为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为 ．

7 . （1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD的周长为　 　．
（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②图3中补全图形，直接写出∠EOF的度数．

8 . ①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
   
②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）
   

9 . 解题与遐想．

如图，的内切圆与斜边相切于点， ，． 求：的面积．

   
王小明：
这道题算出来面积刚好是，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉
赵丽华：
我把和换成、再算一遍，的面积总是！确实非常神奇了
数学刘老师：
大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：
刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？
拼图演绎
(1)将分割放入矩形中（如左图），现在为了通过拼图能直接“看”出“”，请在右图中画出拼图后的个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注．
          
(2)尺规作图：如图，点在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点．
（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
   

10 . 已知⊙O，请作出⊙O的内接等腰直角三角形ABC，∠C＝90°．在⊙O上任取一点P（异于A、B、C三点），连接PA、PB、PC．

①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②请判断PA、PB、PC的关系，并给出证明．