1 . 数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下：

利用尺规过圆外一点作圆的切线． 已知：如图（1），为⊙的切线，切点为A． 求作：圆的另一条切线，切点为B．

       
下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题．
(1)进步小组的作法：以点P为圆心，长为半径作弧，交⊙于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线．问题：
①请你在图（2）中补全进步小组的作图痕迹．
②进步小组通过连接，，证明，他们证明两个三角形全等的依据为______（填“”“”或“”）．
(2)希望小组的作法：如图（3），连接，作的垂直平分线m交于点M，以点M为圆心，长为半径作圆，交于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线．
问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程．
证明：连接，由作图知，是的※，
∴，（理由：◎）
即
又是的半径，
∴为的切线．
在上述证明过程中，※处应该填写______；
◎处应该填写______（填序号）
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
②90°的圆周角所对的弦是直径
③直径所对的圆周角是直角
④同弧所对的圆周角相等
(3)拓展小组的作法：如图（4），连接交于点C，过点C作的垂线n，以点O为圆心，长为半径作弧，交直线n于点D，连接交于点B，作直线，则直线即为所求作的切线．问题：请你结合该组作图方案给出证明过程．

2 . 在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知，求作一个以为内角的菱形经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：
以点A为圆心，以适当长为半径画弧，与，分别交于，两点，再分别以，两点为圆心，以相同的长度为半径画两条弧，两弧交于内一点；
以A，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；
连接交于点，交于点，连接，．
请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：
   
(1)使用直尺和圆规补全图形；保留作图痕迹
(2)证明四边形是菱形．

3 . 如图，已知矩形，，E为延长线上一点，连接交于点F．

(1)尺规作图：过点B作的垂线交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接，若，求证：平分．为证明平分，小明的思路是将其转化成证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质和角平分线的定义使问题得到解决．（请根据小明的思路补全下面的证明过程）
证明：四边形是矩形，∴ ① ，∴．
∵，∴ ② ，∴．
∵ ③ ，∴．
∵在矩形中，，∴ ④ ．
又∵ ⑤ ，∴，∴ ⑥ ，∴平分．

4 . 学习完圆的切线后，数学兴趣小组经过探究得出“过一点作圆的切线”有两种情况“过圆上一点作圆的切线”和“过圆外一点作圆的切线”以下是两种情况作图作法．

过一个已知点作圆的切线
小娟设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已如：点A在上． 求作：的切线． 作法：（1）作射线； （2）以点为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； （3）分别以点为圆心，大于长为半径作弧．两弧交点B； （4）作直线AB，则直线即为所求作的的切线．	小刚设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点． 求作：过点的的切线． 作法：（1）连接．分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、点，作直线交于点； （2）以点为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点； （3）作直线，所以直线就是所求作的的切线．

   
根据小娟和小刚设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全其中一个图形（保留作图痕迹）；
(2)填空：由作图可知“过圆上一点作圆的切线”可以作           条，“过圆外一点作圆的切线”可以作           条；证明所作的直线是圆的切线都用到了           （填依据）．