1 . 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线上一动点，将正方形沿着折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线于点P．
判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：______．
(2)迁移探究
在（1）条件下，若点E是的中点，如图2，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由；
(3)拓展应用
在（1）条件下，如图3，，交于点G，取的中点H，连接，求的最小值．

3 . 解答
(1)问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．

4 . “综合与实践”是以问题为中心，以活动为平台，以解决某一实际的数学问题为目标，综合应用知识和方法解决问题，它是对数学知识的延伸和发展，是对理解、运用数学基础知识和基本技能的升华过程．请同学们运用你所学的数学知识来研究和解决以下问题吧．
（1）探究：已知是平面上一个运动的点，若，，则当点位于        时，线段的长最小，最小值为        ；若，，则当点位于        时，线段的长最小，最小值为        ；
（2）应用：已知是一运动的点，，，如图①所示，分别以为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接和．
①在图中找出与相等的线段，并说明理由；
②何时线段可以取得最小值？请直接写出线段的最小值；
（3）拓展：如图②，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，为边上任意一点，连接并延长与边交于点，现将图中与分别沿与翻折，使点与点分别落在矩形内的点，处，连接，则的长有最小值吗？若有，请直接写出的长的最小值；若没有，请说明理由．

5 . 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．
（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是_____；
（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，请探究线段与线段之间存在怎样的数量关系？（用含、的代数式表示）

6 . 【问题背景】如图1所示，在中，，，点D为直线上的个动点（不与B、C重合），连结，将线段绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结.
【问题初探】如果点D在线段上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线于F，如图2所示，通过证明______，可推证是_____三角形，从而求得______°.
【继续探究】如果点D在线段的延长线上运动，如图3所示，求出的度数.
【拓展延伸】连接，当点D在直线上运动时，若，请直接写出的最小值.

图1                                      图2                                                              图3

7 . 正方形中，对角线AC，BD相交于点、点为直线上一点、连接、绕点将射线逆时针旋转交直线于点．
问题提出：（1）如图1．当点在线段上时，线段与的数量关系为       ，线段BE，BF，BD之间的数量关系为 ．

深入探究：（2）如图2，当点在延长线上时，（1）的结论是否成立?请说明理由．

拓展延伸：（3）当时，连接，请直接写出的长．

8 . 如图1，在中，∠B=90°，，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．
   
问题发现：
当时，_____；当时，_____．
拓展探究：
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
问题解决：
当旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．

9 . 如图1，在△ABC中，AB=AC，D，E分别在AB，AC上，AD=AE，将△ADE绕点A逆时针任意旋转.

（1）发现：如图2，连结BD，CE，若∠BAC=60°，D点恰在线段BE上，则∠BEC= °；
（2）探究：如图3，连结BD，CE，并交于点F，求证：∠BFC=∠BAC；
（3）拓展：如图4，若∠BAC=90°，AB=5，AD=2，连结CD，BE，请直接写出四边形BCDE的最大面积.

10 . 已知中，，，点D为直线BC上的一动点点D不与点B、C重合，以AD为边作，使，，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
请写出BD和CE之间的位置关系为______，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：______．
尝试探究：
如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段ED的长．