2 . 【问题提出】
在由个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？
【问题探究】
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：
   

矩形横长m	2	3	3	5	4	5	…
公矩形纵长n	1	1	2	2	3	3	…
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f	2	3	4	6	6		…

结论：当m，n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数与m，n之间的关系式是________．
探究二：
当m，n不互质时，不妨设，（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表：
   

a	2	3	3	5	2	3	…
b	1	1	2	2	1	1	…
k	2	2	2	2		3	…
矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f	4	6	8		6		…

结论：当m，n不互质时，若，（a，b，k为正整数，且a，b互质），在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数与a，b，k之间的关系式是________．
【模型应用】
一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是________个．
   
【模型拓展】
如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直线穿过的小正方体的个数是________个．

4 . 某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．

请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为___________；
（2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值___________；
（3）代数应用：求代数式的最小值___________．

5 . 探究归纳题：

(1)试验分析：
如图1，经过A点可以作__________条对角线；同样，经过B点可以作__________条；经过C点可以作__________条；经过D点可以作__________条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有___________条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有_____________条对角线；
图3共有_____________条对角线；
(3)探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有_____________条对角线．(用含n的式子表示)
(4)特例验证：
十边形有__________________对角线.

6 . 在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为______．

7 . 在“折纸与平行”的拓展课上，小陈老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与的一边平行，则为________度．

8 . 《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向直角三角形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是______；现将向上翻折，如图②，已知，，，则的面积是______．

9 . 在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则______．

10 . 在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．

（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，则的度数为__________；
（2）如图2，小红将等腰直角三角板放在一组平行的直线a与b之间，并使直角顶点A在直线a上，顶点C在直线b上，现测得，则的度数为__________．