1 . 综合与实践
【问题情境】数形结合是解决数学问题的一种重要思想，有时我们可以借助图形的直观性研究数之间的某种关系．数学课上数学老师组织同学们以探究“？”为主题开展数学活动．
【实践探究】小明所在这个数学小组想到了用图形来帮忙解决这个问题，解决方法如下：
；   ；
   ．
【问题解决】
（1）请你观察上面图形和式子填空：
   ______；
（2）根据以上分析，他们得出“？”的计算方法为______（用含的代数式表示，为正整数）
（3）利用上述结论计算：．
【拓展延伸】
计算：．

2 . 完成下列各题：
(1)用棋子摆出下一组图形：

①摆第4个图形用______枚棋子，摆第n个图形用______枚棋子．
②小鱼同学手上刚好有50枚棋子，是否可以摆出符合这种规律的图形，50枚棋子一枚不剩？如果可以，求出是第几个图形；如果不可以，请说明理由．
(2)约定“*”为一种新的运算符号，先观察下列各式：
              

根据以上的运算规则：
①计算：
②计算：

3 . 为了创建文明城市，各种颜色的菊花摆成如下三角形的图案，每条边（包括两个顶点）上有盆花，每个图案花盆的总数为S，当
   
时，时，时，
(1)当时， ____________；时， _____________；
(2)你能得出怎样的规律？用n表示S．

4 . 阅读下表：

线段上的点数n（包括A、B两点）	图例	线段总条数N
3
4
5
6
7

解答下列问题：
(1)在上表中空白处分别画出图形，写出结果；
(2)写出线段的总条数N与线段上的点数n的关系式；
(3)试证明：．

5 . 观察下列具有一定规律的三行数：

第一行	1	4	9	16	25	……
第二行		2	7	14	23	……
第三行	2	8	18	32	50	……

(1)第一行第n个数为_______（用含n的式子表示）；
(2)取出每行的第m个数，这三个数的和为482，求m的值；
(3)第四行的每个数是将第二行相对应的每个数乘以k得到的，若这四行取出每行的第n个数，发现无论n是多少，这四个数的和为定值，则_____．

6 . 阅读与探索：
问题情境：
通过学习“探索与表达规律”让我们感受到：发现数学中的规律是一件十分有趣的事情．用简洁的语言表达变化规律应该从简单入手，经过熟悉、认知、思考、总结，从而发现规律．请你用自己学到的方法探索并表达下列规律：
（1）如图，搭1个小正方形需要4根火柴棒，搭2个小正方形需要7根火柴棒，搭3个小正方形需要10根火柴棒……，如果用表示所搭正方形的个数，那么搭个这样的小正方形需要__________根火柴棒（用的代数式表示）．

类比探索：
（2）如图，是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第个图案需要__________根火柴棒（用的代数式表示）．
   
（3）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，．．．．．．．若按此规律拼下去，则第个图案需要火柴棍的根数为__________（用含的式子表示）．
   
拓展应用：
（4）观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是__________个．
   

7 . 如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形．

(1)请观察图形，并填写下列表格；

图形标号	第1个	第2个	第3个	…	第n个
灰色方块的个数	5	10	15	…	______
白色方块的个数	4	______	______	…	______

(2)第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有多少个？
(3)第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多多少个？（用含n的式子表示）

8 . 如图1是某月的月历
如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x．

(1)请用含x的式子表示：
第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
(2)设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出，，的值；若不能，请说明理由．

9 . 如图，观察表1，找出其中的排列规律．表2、表表4分别是从表1中截取的一部分，其中，为大于1的整数．
   
(1)表2中的       ，表3中的       ；
(2)请用的代数式表示，；
(3)求．

10 . （1）由图1得：；由图2得：        ；由图3得：        ；
（2）则由图n可得：        ；
（3）根据（2）的结论，求的值．