1 . 高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过起跳点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．飞行中某一时刻当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，高出水平线的高度为60米．

(1)求抛物线所对应的函数表达式．
(2)若运动员在高出水平线10米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到A点的水平距离．
(3)在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离．

2 . 如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面．
   
(1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式；
(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．

4 . 如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为．
①在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
②连接，若，求的值．

6 . 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．顶点为D点，点E为抛物线对称轴上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，若是以为斜边的直角三角形，请求出点E的坐标：
(3)抛物线对称轴上是否存在点E，使得取得最小值，若不存在，请说明理由，若存在，求出点E的坐标，并求出的最小值．

7 . 如图，抛物线过点，点是抛物线上一个动点，过点作矩形，使边在轴上（点在点的左侧），点在抛物线上，设点的横坐标是，当时，．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)当为何值时，四边形是正方形？
(3)保持时的矩形不动，将抛物线向右平移，平移后的抛物线与矩形边的交点分别是，直线平分矩形的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标．

9 . 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．

10 . 综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．
①求的面积S的最大值．
②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．