1 . 综合与实践
【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究：

(1)k的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________；
【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记：
定义：函数图象按平移是指沿x轴方向向右平移h个单位或向左平移个单位；再沿y轴向上平移k个单位或向下平移个单位．
设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，M的对应点，

【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究．
(2)若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式；
(3)若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于A，B两点，，当平移路径最短时，求m，n的值．

2 . 如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．

(1)求证：；
(2)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由；
(4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．

3 . 如图，矩形交反比例函数于点D，已知点，点，．

(1)求k的值；
(2)若过点D的直线分别交x轴，y轴于R，Q两点，，求该直线的解析式；
(3)若四边形有一个内角为，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y轴负半轴上运动，点Q在x轴正半轴上运动，若四边形为“角分四边形”，求点P与点Q的坐标．

4 . 如图1，在中，，点，是边上的动点，是等边三角形且．设，，一次函数的图象过点和．

(1)直接写出，的函数关系式；
(2)在图2中画出函数，的图象，并写出一条的性质；
(3)当时，自变量的取值范围为______；当______时，的面积取得最值，其最值为______．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，动直线与反比例函数的图象交于点，与直线交于点．

(1)求的值及反比例函数的表达式；
(2)当为何值时，的面积最大，且最大值为多少？
(3)如图2，的顶点在反比例函数的图象上，点为反比例函数图象上一动点，过点作轴交于点，交于点．当点的纵坐标为2，点的横坐标为1且时，求的值．

6 . 如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围．

7 . 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交双曲线于点，以为对角线作正方形，与轴交于点，与轴交于点，连接，以为直径画弧，与线段围成的阴影面积为，的面积为．

(1)求的值；
(2)求的长度及线段的长度；
(3)求的值．

8 . 如图1，在平面直角坐标系中，双曲线与直线相交于点，两点．

(1)求双曲线的函数表达式；
(2)在双曲线上是否存在一点，使得的面积为6？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是轴正半轴上的一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，直线与轴交于点，求证：．

9 . 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B．

(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图，直线交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分；
(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标．

10 . 坐标平面内，若点满足，我们把点P称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．
(1)一次函数的图象上的“半分点”是______；
(2)若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，求m的值；
(3)若关于x的二次函数（常数）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．
①当时，求n的取值范围；
②当时，过双曲线（其中）上的“半分点”P作直线轴，若二次函数的图象上存在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．