1 . 【阅读理解】如图1，在矩形中，若，，则________（用含a、b的式子表示）；
【探究发现】如图2，小华发现在平行四边形中，若，，则上述结论依然成立，请你跟随小华的思路，帮他继续完成证明过程．
证明：如图3，延长，过点B、点C分别作于点E，于点F．
在中，且，
，
．
．
设，．
……
________（请继续完成以上证明）
【拓展提升】如图4，已知为的一条中线，，，．
求证：．
【尝试应用】如图5，在矩形中，若，，点P在边上，则的取值范围为________．

2 . 阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．

3 . （1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．

4 . 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
   
【阅读材料】（1）如图2，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是______；
【问题探索】（2）如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中与的数量关系，并给予证明；
【拓展运用】（3）如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，若，，试求解的取值范围．

5 . 【证明体验】（1）如图1，在中，为边上的中线，延长至E，使，连接．求证：．
【迁移应用】（2）如图2，在中，，为边上的中线，．求的面积．
【拓展延伸】（3）如图3，在中，，D是延长线上一点，，F是上一点，连接交于点E，若，求ED的长．

6 . 【阅读理解】如图1．在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把，，集中在中，

(1)利用三角形的三边关系直接写出中线的取值范围是            ；
(2)【问题解决】如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
(3)【问题拓展】如图3，在中，，为边的中点，求证：．

7 . 图1，在直角三角形纸片ABC中，，，．将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
   
【观察思考】（1）折痕的长为______；
【实验探究】（2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点B时，求的长；
②如图3，当直线时，求的长；
【挑战自我】（3）在绕点D旋转的过程中，连接，则的最小值为______．

8 . 某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，和全等吗？为什么？
　   
【理解与运用】
（2）如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是______．
   

9 . 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接．

【探究发现】
（1）图中与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　．
【初步应用】
（2）若，，求的取值范围．

10 . 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
【探究发现】
（1）如图①，与的数量关系是        ，位置关系是        ；
【初步应用】
（2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
【探究提升】
（3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．