2 . 综合与探究：
   
（1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线，垂足分别为点D、E．小明观察图形特征后猜想线段、和之间存在的数量关系，请你判断他的猜想是否正确．
拓展：
（2）如图2，将探究中的条件改为：在中，，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请说明理由．
应用：
（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接BD、CE，若、，若，请直接写出的形状是 ．

3 . 综合与实践：

【问题情境】已知是的平分线，P是射线上的一点，点D，E分别在射线，上，连接，．
【初步探究】（1）如图1，当，时，与的数量关系是______；
【深入探究】（2）如图2，若，（1）中与的数量关系还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，中，平分交于点D，若，，，求的面积．

5 . 综合与实践：
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1，是等腰直角三角形，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：的面积为        ；
拓展延伸：（2）如图2，若为任意直角三角形，．将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．猜想三条线段、、的数量关系，并证明．
（3）如图3，在中，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接．若点D是的边的高线上的一动点，连接、，则的最小值是        ．

6 . 综合与实践——探索图形平移中的数学问题：
问题情境：如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．
操作探究：将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点、、；
（1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离．
（2）如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论．
拓展延伸：
（3）在平移的过程中，直接写出以、、为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是         ．
   

7 . 【探究∙发现】
正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为a，则正方形的周长为______，面积为______（都用含a的代数式表示）．
【拓展·综合】
如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．

（1）在平面直角坐标系中，点P是原点P的“正方形关联点”．若点P在直线上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值为______．
（2）如图2，已知点，点B在直线l：上，正方形是A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别记为a和b，求的最小值．

8 . 【试题再现】如图 1，中， ， 直线l过点C， 过点A、B分别作于点D，于点E， 则（不用证明）．
   
(1)【类比探究】如图2， 在中，， 且，上述结论是否成立？若成立， 请说明理由：若不成立， 请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】如图3， 在中，， 且， 猜想线段之间有什么数量关系？并证明你的猜想．

9 . 问题情境：如图①，在中，，于点D．可知：（不需要证明）；
   
(1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边、上，且，于点F，于点D．证明：；
(2)归纳证明：如图③，点B，C在的边、上，点E，F在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
(3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为24，则与的面积之和为_____．（直接写出结果）