1 . 在的高、交于点，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．

2 . 三角形的角平分线、中线、高都是三角形的重要线段，我们知道，它们各有不同的性质为了进一步探究它们的作用，德馨小组合作学习时做了以下尝试：

(1)如图，中，，分别是，的角平分线，若，求；
(2)如图，中，，分别是，边上的中线，若，求；
(3)如图，中，，，分别是，边上的高线，若，求．

3 . 猜想证明（1）平面内，的直角顶点A放置在直线l上，，分别过B，C作直线l的垂线,垂足为D，E．

①如图1，旋转，当B、C两点在直线l的同侧时，请直接写出        ；
②如图2，旋转，当B、C两点在直线l的异侧时(点D在A，E两点之间)；猜想，，三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论；
问题解决（2）如图3，直线于点O，P为直线l上点O右侧的一动点，点Q在直线m上，连接，且，设的长度为x，的面积为，求y与x的关系式．

4 . 如图，直线，直线，直线交直线于点A，交直线于点B，直线交直线于点C，交直线于点 D，点 E为线段的中点，F为线段上一点，连接，．
   
(1)若，求证：平分；
(2)若的面积为2，的面积为8，求的面积；
(3)若，请写出线段之间的数量关系，并证明．

5 . 问题
如图，为等边三角形，过点作直线平行于，点在直线上移动，过点作，与直线交于点研究和的数量关系．

极端位置
（1）某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点移动到与点重合时为最特殊情况，由此得到和的数量关系为______ ；
特殊位置
（2）如图，该数学兴趣小组运用第二种特殊情况，当时，此时发现（1）的结论依然成立，请你写出证明过程；
一般位置
（3）当点在如图的一般位置时，请证明（1）的结论依然成立．

6 . 在中，，D，E分别为平面内两点，连接，使且．
   
(1)如图1，
①与有怎样的数量关系，请说明理由；
②与有怎样的位置关系，请说明理由；
(2)如图2，若延长与相交于H，且过的中点N，的角平分线交于F，过点A作于M，已知，，．设，请用含x的代数式表示y．

7 . 如图，强强想测量旗杆的高度，旗杆对面有一高为米的大楼，大楼与旗杆相距米（米），在大楼前米的点P处，测得，且，，则旗杆的高为（       ）

   

A．8米

B．米

C．米

D．米

8 . 在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于直线的对称点为E，连接．
   
(1)如图1，点D在线段上，，求的度数；
(2)射线与射线的交于点F，过点D作交射线于点G，连接交于点H．
①如图2，点D在线段上，求证：；
②点D在线段延长线上，用等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由．

9 . 如图1，在等腰直角中，，点是线段上不与点，重合的动点，连接并延长至点，使，过点作，垂足为点．
          
(1)当点，位于点的异侧时，问线段，，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
(2)当点，位于点的同侧时，若，，请在备用图中画出图形，并求的长．

10 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
如图，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点．
   
(1)求证：，；
(2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
(3)若，，求中边上的高．