1 . 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．

(1)如图1，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．

3 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；

（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

4 . 平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为_________．

5 . 如图，函数的图象过和两点．

(1)求n和k的值．
(2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式．
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 知识探究：如图1，点E是正方形对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角两边，分别角与，相交于M点，N点．当时，请探究与的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究与的数量关系，并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作于点H，如图3，证明H是线段的中点．
   

8 . 已知，在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且．
   
(1)【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
(2)【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”），并将如下理由补充完整．

过点D作，交于点M．

(3)【拓展延伸】已知点D是等边三角形的边的中点，，P、Q分别为射线、射线上一动点，且，若，请直接写出的长．

9 . 如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．
   
(1)求证： ；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并说明理由．

10 . 如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．
   
(1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______；
(2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式；
(3)当平行四边形的面积等于30时，求的值．