1 . 在中，，是平面内一点，，点在边所在直线上，，垂足是．

(1)当点在线段上时，如图①，求证：；
(2)当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系；
(3)如图③，若，则      ．

2 . 继笛卡尔首次提出平面直角坐标系后，牛顿提出了极坐标系．把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个极坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的极坐标．如图，在的极坐标系中，解答下列问题：

(1)若点的极坐标为，且实数在轴上所对应的点到轴的距离为，试求的值．
(2)若点的极坐标为，点与点关于轴对称，求点的极坐标．

3 . 在中，，点为上一点，连接，过点作，交于点，交于点，且，则______．

4 . 在中，，，为的中点，，为别为线段，上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．

(1)如图，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；
(2)如图，的延长线交于点，点在上，且，求证：；
(3)如图，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段长度的最小值．

5 . 在正方形中，两条对角线，相交于点O，且，连接．
​
(1)如图1，若，，求线段的长；
(2)如图2，将的顶点移到上任意一点处，绕点旋转，交的延长线上一点E，射线交的延长线上一点F，连接，求证：．

6 . 如图，和都是等腰直角三角形，，点A在边上，连接交于点F，求证：．

7 . 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

   

(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．

8 . 如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转得到，连，则的最小值为___________．
   

9 . 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置如图，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点．
   
(1)若测得，． 请你求出此时的长．
(2)如图3，在中，，直线经过点，，，且．
①请判断，，之间的数量关系，并说明理由．
②若，的面积为，请你直接写出的面积_________．

10 . 如图，四边形中， ，，，，垂足为E．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．