1 . 在平面直角坐标系中,已知点,.对于点给出如下定义:将点先向右或向左平移个单位长度,再向上或向下平移个单位长度,得到点,点关于点的对称点为,称点为点的“欢乐点”.
(1)如图,点,点在线段的延长线上.若点,点为点的“欢乐点”.
①在图中画出点与点;
②连接,交线段于点,求证:=;
(2)⊙O的半径为1,是⊙O上一点,点在线段上,且=(<<1),若 为⊙O外一点,点为点P的“欢乐点”,连接.当点在⊙O上运动时,直接写出长的最大值与最小值的差(用含的式子表示).
(1)如图,点,点在线段的延长线上.若点,点为点的“欢乐点”.
①在图中画出点与点;
②连接,交线段于点,求证:=;
(2)⊙O的半径为1,是⊙O上一点,点在线段上,且=(<<1),若 为⊙O外一点,点为点P的“欢乐点”,连接.当点在⊙O上运动时,直接写出长的最大值与最小值的差(用含的式子表示).
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名校
2 . 如图1,边长为的正方形中,点P为上一个动点,连接,作于点,交边于点M,于.(1)证明:;
(2)如图2,连接,线段交于点,点为的中点.①当时,求的长;
②线段是否存在最小值和最大值,若存在,请直接写出线段的最小值和最大值,若不存在,请说明理由.
(2)如图2,连接,线段交于点,点为的中点.①当时,求的长;
②线段是否存在最小值和最大值,若存在,请直接写出线段的最小值和最大值,若不存在,请说明理由.
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2023-04-15更新
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272次组卷
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5卷引用:2023年山东省淄博市张店区中考一模数学试题
3 . 在平面直角坐标系中,已知点,.
对于点给出如下定义:将点向右()或向左()平移个单位长度,再向上()或向下()平移个单位长度,得到点,点关于点的对称点为,称点为点的“对应点”.
(1)如图,点,点在线段的延长线上,若点,点为点的“对应点”.
①在图中画出点;
②连接,交线段于点.求证:;
(2)的半径为1,是上一点,点在线段上,且,若为外一点,点为点的“对应点”,连接.当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差(用含的式子表示).
对于点给出如下定义:将点向右()或向左()平移个单位长度,再向上()或向下()平移个单位长度,得到点,点关于点的对称点为,称点为点的“对应点”.
(1)如图,点,点在线段的延长线上,若点,点为点的“对应点”.
①在图中画出点;
②连接,交线段于点.求证:;
(2)的半径为1,是上一点,点在线段上,且,若为外一点,点为点的“对应点”,连接.当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差(用含的式子表示).
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4 . 在中,,,在平面内,把绕点旋转得到,垂直直线,垂足为,的延长线交于点.
(1)如图①,若,求证:是等腰三角形;
(2)如图②,若点在上,求证:点是的中点;
(3)连接,写出的最大值和最小值,并在图上画出对应的图形.
(1)如图①,若,求证:是等腰三角形;
(2)如图②,若点在上,求证:点是的中点;
(3)连接,写出的最大值和最小值,并在图上画出对应的图形.
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名校
5 . 如图,在矩形中,,O为对角线的中点,点P在边上,且,点Q在边上,连接与,则的最大值为____________ ,的最小值为__________ .
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2023-05-02更新
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204次组卷
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3卷引用:湖南省永州市新田县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题
湖南省永州市新田县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题(已下线)专题9.31 正方形(题型分类拓展)-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练(苏科版)湖南省怀化市溆浦县第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
6 . 【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板的直角顶点O放置在另一块直角三角板的斜边的中点处,并将三角板绕点O任意旋转.
(1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点P,Q时(规定此时点P,Q分别在边上运动).
①如图1,当时,与的数量关系为_________;
②小组成员发现当与不垂直时(如图2所示),与之间仍然存在一个数量关系,请你写出这个数量关系,并说明理由;
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中,四边形的面积始终保持不变,请你判断嘉淇的结论是否正确,并说明理由;若,求出四边形的面积;
(2)【探究延伸】如图3,连接,直角三角板在绕点O旋转一周的过程中,若,直接写出线段长的最小值和最大值.
(1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点P,Q时(规定此时点P,Q分别在边上运动).
①如图1,当时,与的数量关系为_________;
②小组成员发现当与不垂直时(如图2所示),与之间仍然存在一个数量关系,请你写出这个数量关系,并说明理由;
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中,四边形的面积始终保持不变,请你判断嘉淇的结论是否正确,并说明理由;若,求出四边形的面积;
(2)【探究延伸】如图3,连接,直角三角板在绕点O旋转一周的过程中,若,直接写出线段长的最小值和最大值.
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2023-02-17更新
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342次组卷
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4卷引用:河北省沧州市海兴县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题
河北省沧州市海兴县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题(已下线)专题3.15 图形的平移与旋转(最值问题)(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)(已下线)专题14 和旋转有关的综合大题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练(北师大版)河北省保定市阜平县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
名校
解题方法
7 . 在等腰三角形中,.点E为上一点,连接.
(1)如图1,若,过点C作交BE延长线于点D,连接,过点A作交于点F,连接,求证:;
(2)如图2,过A作交延长线于点D,将绕着点A逆时针旋转至,连接,使得于点G,与交于点M,若点M为的中点,且,猜想线段与之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,若,,将沿着翻折得到,点落在BE延长线上,交于点P,点Q、R分别是射线、上的点,连接、、,满足,当取得最大值时,直接写出的最小值的平方.
(1)如图1,若,过点C作交BE延长线于点D,连接,过点A作交于点F,连接,求证:;
(2)如图2,过A作交延长线于点D,将绕着点A逆时针旋转至,连接,使得于点G,与交于点M,若点M为的中点,且,猜想线段与之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,若,,将沿着翻折得到,点落在BE延长线上,交于点P,点Q、R分别是射线、上的点,连接、、,满足,当取得最大值时,直接写出的最小值的平方.
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2023-10-16更新
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590次组卷
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5卷引用:2023年重庆市江北区重庆八中宏帆初级中学校中考一模数学试题
2023年重庆市江北区重庆八中宏帆初级中学校中考一模数学试题 2023年重庆市第八中学中考一模数学试题(已下线)2023年重庆一模(几何综合)重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题(已下线)数学(辽宁卷)-学易金卷:2024年中考考前押题密卷
名校
8 . 已知正方形与正方形,是的中点,连接,.
(1)如图,点在上,点在的延长线上,请判断,的数量关系与位置关系,并直接写出结论;
(2)如图,点在的延长线上,点在上,(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论;
(3)将图中的正方形绕点旋转,若,,直接求出面积的最大值______ 和最小值______ .
(1)如图,点在上,点在的延长线上,请判断,的数量关系与位置关系,并直接写出结论;
(2)如图,点在的延长线上,点在上,(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论;
(3)将图中的正方形绕点旋转,若,,直接求出面积的最大值______ 和最小值______ .
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9 . 综合与实践:
动手操作:某校八(1)班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后,利用手头上的一副三角板(,)的直角顶点O放置在另一块直角三角板(,)斜边AB的中点处
发现结论:
(1)如图1,三角板的两边,分别与另一块三角板的边,交于点P,Q(规定:此时点P,Q均在边,上运动),他们在旋转过程中,发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化.
问题解决:
①请你帮他们说明的理由;
②若,请你帮他们求出四边形的面积.
拓展延申:
(2)如图2,连接,当,,那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中,请你直接写出线段长的最小值和最大值.
动手操作:某校八(1)班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后,利用手头上的一副三角板(,)的直角顶点O放置在另一块直角三角板(,)斜边AB的中点处
发现结论:
(1)如图1,三角板的两边,分别与另一块三角板的边,交于点P,Q(规定:此时点P,Q均在边,上运动),他们在旋转过程中,发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化.
问题解决:
①请你帮他们说明的理由;
②若,请你帮他们求出四边形的面积.
拓展延申:
(2)如图2,连接,当,,那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中,请你直接写出线段长的最小值和最大值.
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10 . 如图,中,,,点O是的中点,将直角三角板的直角顶点绕点O旋转,三角板的两条直角边分别与、分别交于点M、N(不与端点重合),连接,设三角板与重叠部分的四边形的面积为S,则下列说法正确的是( )
A.S变化,有最大值 | B.S变化,有最小值 |
C.S不变,有最大值 | D.S不变,有最小值 |
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