1 . 学习正方形时，王老师带领同学们探索了课本上的一道几何题.
【课本原型】（1）人教版八年级下册数学课本拓广探索》第15题．请你写出证明过程．

如图，四边形是正方形，点G为上的任意一点，于点E、，交于F．求证：．

【问题解决】（2）如图（1），正方形中，点G为延长线上的任意一点，交延长线于点E，交于点F．试探索、、之间的数量关系，并给出证明
【问题研究】（3）如图（2），四边形是正方形，点G为上的一点，于点E，连接，若，请直接写出的面积．

   

2 . 阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

“倍长中线法” 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线． 如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：．       证明：如图2，延长至点，使． ∵是边的中点 ∴． ∵，， ∴（依据）． ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴．

任务：
(1)材料中的“依据”是________．（填选项）
A．       B．     C．     D．
(2)在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________．
(3)如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长．

3 . 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”，类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 如图，在梯形中，，E，F分别是两腰的中点，的延长线交于点G． 求证：． 证明：∵， ∴（依据）． ∵F为DC的中点， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，． ∵E是AB的中点，F是AG的中点， ∴EF是的中位线， ∴． ∵， ∴．

任务：
(1)填空：材料中的依据是______；
(2)如图，在梯形中，，点E在上，交于点F，若，，，求的长．

5 . 综合与实践
问题情境：在“综合与实践”课上，老师出示如下问题，如图1，有一条矩形纸带，E，F分别是边上一点（不与端点重合）．将纸带沿所在的直线折叠，展开铺平，若直线将矩形的面积平分，试猜想与的数量关系，并加以证明．
数学思考：（1）请解答老师提出的问题．
深入探究：（2）老师将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2，并让同学们提出新的问题．请解答各小组提出的问题．
①“善思小组”提出问题，若，时，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
②“智慧小组”提出问题，在①的基础上作平分交于点M，请直接写出，与的数量关系．

6 . 阅读与思考
下面是小刚同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

梯形的中位线 如图1，在梯形中，，，是的中点，是的中点，连接，则叫作梯形的中位线，并满足，． 证明：如图2，连接并延长，交的延长线于点． ， （依据1）． 是的中点， ． ，，， （依据2）， ……

任务：
（1）填空：材料中的依据1是指___________；依据2是指___________．
（2）将上述方法的证明过程补充完整．
（3）如图3，在梯形中，，，，以，分别为边构造正方形、，连接，取线段的中点为，连接，则的面积为___________．

9 . 综合与实践
问题情境：如图①，在矩形中，，沿对角线折叠矩形并展开，再沿对角线折叠矩形并展开，两次的折痕交于点O，点E是上一点，连接并延长交于点F，连接．

问题探究：
（1）请判断四边形的形状并说明理由；
问题解决：
（2）在图①基础上将矩形沿折叠得到图②，点A、C对应点分别为点、．
①请判断与的位置关系，并加以证明；
②连接，当线段的长最小时，请直接写出的长．