1 . 如图，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．

   

2 . 如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（       ）．

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是______．

4 . 如图，已知中，，以为直径的交边于点．过点作的切线交边于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

5 . 如图，正方形中，，对角线 与交于点O，点P为对角线上一个动点，作射线交正方形的边于点F，过点D作 垂足为点Q，交直线于点M，交正方形的一边于点E．

(1)如图1，当点P在线段 上时，线段 与线段的数量关系为         ．
(2)如图2，当点P在线段上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)当四边形的面积与的面积比为时，直接写出线段的长．

6 . 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点O作于点M，交于点N，连接．若，，则的长为（     ）

A．

B．

C．

D．

7 . 阅读下列材料，解答问题：
材料   从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线．
解答下列问题：

(1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°；
(2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线；
(3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：．

8 . 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．

(1)画出，使与关于原点O成中心对称；
(2)将绕原点O顺时针旋转得到，画出；
(3)连接，过点B作，垂足为点H．（用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法）

9 . 在学习了平行四边形后，小天进行了拓展性研究，他发现，平行四边形一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等，他的解决思路是：通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下的作图与填空：
用直尺和圆规，过点作的垂线交于点．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形为平行四边形， 是对角线，于点，于点．
求证：．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴①        ，，
∴②        ．
．
．
∴③        ．
．
．
小天再进一步研究发现，平行四边形一组对角顶点到经过平行四边形对角线交点的直线的距离均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
平行四边形一组对角顶点到经过④         ．

10 . 如图，在矩形中，，点是对角线上一点，，延长交于点，过点作，交于点，交于点，点是的中点，连接．

(1)问题提出：
①如图1，若，则______，______；
②如图2，若，求和的长度．
(2)推广应用：若，请直接写出和的长．（用已知数或含的式子表示）