1 . 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：

   

(1)【理解应用】如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标；
(2)【规律初探】如图2，正方形的边长为a，点E在边上，点F在边上，点G在边上，点H在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积S的取值范围；
(3)【综合探究】如图3，已知抛物线与x轴交于M，N两点，点M在点N的左侧，P，Q两点在该抛物线上．若以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且．设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，求m的值．

2 . 如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：．

   

3 . 【问题情境】
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
（1）四边形的形状是_________；
【解决问题】
（2）若，，则正方形的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．

4 . 如图，在正方形中，，M为对角线上任意一点（不与B、D重合），连接，过点M作，交线段于点N．

(1)求证：；
(2)若，求证：．

5 . （1）证明推断如图1，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．
①求证：；
②的值为________；
（2）类比探究如图2，在中，，，是边上的高，点E是边上一点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点G．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用在（2）的条件下，连接，当，平分时，若，求的长．

   

6 . 如图，在中，是的中点、是中点，过点作交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)直接回答：当满足________时，四边形是正方形．

7 . 如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若，则△CDE的面积是（            ）
   

A．18

B．

C．

D．14.4

8 . 如图，在中，，D为AB边上的一点，以AD为直径的交BC于点E，过点C作交AB于点G，交AE于点F，过点E作交AB于点P，．

(1)求证：BC是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形CFPE的面积．

9 . 如图，．

（1）求的度数；
（2）若，求证：．

10 . 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．