1 . 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______．

2 . 在学习了平行四边形后，小天进行了拓展性研究，他发现，平行四边形一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等，他的解决思路是：通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下的作图与填空：
用直尺和圆规，过点作的垂线交于点．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形为平行四边形， 是对角线，于点，于点．
求证：．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴①        ，，
∴②        ．
．
．
∴③        ．
．
．
小天再进一步研究发现，平行四边形一组对角顶点到经过平行四边形对角线交点的直线的距离均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
平行四边形一组对角顶点到经过④         ．

3 . 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点．（要求：只保留作图痕迹）．
(2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：且．
证明：四边形为平行四边形，且
①        
，，同理可得，
，
②        
又，，同理可得，
③        
．
请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段④        ．

5 . 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点，连接、．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点．
求证：四边形是平行四边形．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴，① ，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵
∴② ，
∴．
∴，．
∴③ ，
∴四边形是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．

8 . 如图，在中，，点是上一点，连接，于点，于点，连接，若，，则的度数是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证：

证明：四边形是菱形
①       


，



②       
③       

请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④       ．