1 . 问题解决：（1）如图1，在四边形中，A为上一点，且，若，则求证：．
拓展探究：（2）如图2，A、B为线段的垂直平分线上两点，且，过点B作于E点，的垂直平分线交于F点，连、．试求的度数．

图1                                图2

2 . 如图，在锐角中，，现进行如下操作：

①分别以为圆心，大于长为半径作弧交于相异两点；

②连接两点交于，以为圆心，长为半径作；

③在上取点，点在内部，连接．

设，若，则的度数为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）

A．4

B．3

C．2

D．1

4 . 已知点A和点B，请借助直尺和圆规作出以下图形（需保留作图痕迹）．

(1)作线段的垂直平分线l；
(2)在线段的下方直线l上作出点C，连接使是等边三角形．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上的动点.若点在线段的垂直平分线上，______；当取得最小值时，______．

6 . 如图，某居民小区在三栋住宅楼，，之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．

7 . 如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，连接，交于点和点，交半径于点，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为_____．

8 . 如图，是菱形的对角线．

(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点E，F，连接、（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：点F在线段的垂直平分线上．
证明：四边形是菱形
，，，
① ，，
，
在和中，
，
，
② ．
垂直平分，
③ ，

点在线段的垂直平分线上（ ④ ）．

9 . 【情境】2023年3月11日，2023斯诺克6红球世锦赛决赛，丁俊晖以8﹣6击败本土作战的塔猜亚•乌诺，继2016年后第二次夺得冠军．在台球比赛中，球台边也叫“库”，球撞击一次球台边叫做“一库”，球撞击两次球台边叫做“两库”，以此类推…
【建模】（1）在台球桌上也有我们熟悉的数学模型：如图①，在长方形球台内有白球B、红球H两点，从点B出发，击中球台边，反弹击中点H（“一库”）．请画出白球B的路径，并用箭头标出方向．
【应用】（2）若让白球B弹“两库”击中红球H会有_____种情况，请选择一种情况在图②中画出白球B的路径，并用箭头标出方向．
【拓展】（3）若让白球B弹“三库”击中红球H会有_______种情况，请在图③中画出白球B的路径，并用箭头标出方向．

10 . 如图，点为直角边上一动点，连接，作线段的垂直平分线交边于点，连接，已知，当为直角三角形时，的长为______．