1 . 如图，是半圆的直径，的垂直平分线交半圆于点，垂足为．点为上一点，过点的切线交的延长线于点，连接交于点，连接．

(1)如图①，求证：；
(2)如图②，当点是的中点时，连接．
①的度数为______度；
②若，求四边形的面积．

2 . 如图，在中，平分，交于点．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)小川判断四边形是菱形，他的证明思路是：利用垂直平分线的性质，先证明、为等腰三角形，再利用平行线的判定得到四边形为平行四边形，从而得到四边形是菱形．
证明：平分，
①　　，
是的垂直平分线，
，②　　，
，，
，，
，③　　，
四边形为平行四边形，
④　　，
四边形是菱形．

3 . 在学习等腰三角形性质时，小美遇到这样一个题目，如图，在中，，点D在边上，连接．过点C作于E，且，求证：．

小美的解决方法是过点A作垂直于点F，利用等腰三角形和全等三角形的性质解决问题．请根据小美的思路完成下面的作图与填空．
证明：用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为F．（只保留作图痕迹）
，①______，．
②______．
③______．
，
④______，
．

4 . 如图，作任意线段，以点为圆心，为半径作弧，点对应点为点，连接，．分别以点点为圆心，大于的长度画弧交于，交于，连接，．过点作交于，过作交射线于点．则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知在中，．
   
(1)如图1，在的延长线上取点D，连接，在上取点E，连接交于点P，．求证：；
(2)如图2，点D在上，连接，G为的中点，连接，，，的中垂线交于点E，连接并延长交于点F．求证：；
(3)如图3，过点A作的平行线，连接，，过点A作于点E．求证：．

6 . 如图，在菱形中，点为对角线，的交点， ，，动点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿 方向运动；同时，动点从点出发，以相同的速度沿方向运动．过点 作 的垂线，分别交 ， 于点，．设运动时间为 ．

(1)当为何值时，点在线段 的垂直平分线上；
(2)设五边形的面积为，写出与之间的函数表达式；
(3)连接，当为何值时， ?

7 . 在学习了特殊角的三角函数后，同学们熟练掌握了，，的三角函数值，老师又提出一个问题：中，，如何用所学知识求的正切值？聪明的小周很快有了思路：利用作垂直平分线构造等腰三角形，得到角与特殊角角的关系，从而解决问题，请根据她的思路完成下面的作图与填空如图．
解：用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹）
垂直平分
①

中

②
中
③

④

8 . 如图，在锐角中，，现进行如下操作：

①分别以为圆心，大于长为半径作弧交于相异两点；

②连接两点交于，以为圆心，长为半径作；

③在上取点，点在内部，连接．

设，若，则的度数为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮）

(1)如图①，已知在中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积；
(2)如图②，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积；
(3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形．

10 . 已知点A和点B，请借助直尺和圆规作出以下图形（需保留作图痕迹）．

(1)作线段的垂直平分线l；
(2)在线段的下方直线l上作出点C，连接使是等边三角形．