1 . 如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上．

(1)求证：是的垂直平分线．
(2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．

2 . 如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．
   
(1)求证：；
(2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由；
(3)若，，求的度数．

3 . 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E．

(1)求证：垂直平分线段；
(2)若，，求的长．

4 . 完成下列各题

(1)如图1，，点在上，且，则的度数为______；
(2)如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点．
①求证：垂直平分线段；
②若的面积为8，，，求的长．

5 . 如图，在中，，点D为斜边上一点，且，过点D作的垂线交于点E．

(1)求证：平分．
(2)若，
①求证：点E在的垂直平分线上；
②若，求的长．

6 . 在中，，点N在线段上（如图位置），为的斜边，于N，交于M，连接，相交于F，．
   
求证：
(1)．
(2)垂直平分．

8 . 如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
   
(1)求证：
(2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积．

9 . 证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，垂足分别为点E，F，两线相交于点P．
求证：、、的垂直平分线相交于点P．
证明：是边的垂直平分线上的一点，_____．
是边的垂直平分线上的一点，_____．
__________，在边的________________上．
、、的垂直平分线相交于点_______．

10 . 如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)连接，若，，求的长．