1 . 抛物线
（
，
为常数，
）顶点为
，与
轴交于点
，
（点在点左侧），与
轴交于点
，直线
过点且平行于轴，
为第一象限内直线上一动点，
为线段
上一动点．
(1)若
，
．
①求点和点，的坐标；
②当点 为直线与抛物线的交点时，求
的最小值；
(2)若
，
，且
的最小值等于
时，求，的值．
（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点．(1)若
，．①求点
和点，的坐标；②当点
为直线与抛物线的交点时，求的最小值；(2)若
，，且的最小值等于时，求，的值．
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2 . 正方形
的边长为4，点E在边
上，
，点F在正方形的一条边上，且
和
的面积相等，则
的长为________ ．
的边长为4，点E在边上，，点F在正方形的一条边上，且和的面积相等，则的长为
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3 . 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，连接
，
．若正方形
与
的边长之比为
，则
等于（ ）
，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）
A． | B． | C． | D． |
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4 . 【特例感知】
（1）如图
，已知
和
是等边三角形，直接写出线段
与
的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图
，和是等腰直角三角形，
，写出线段与的数量关系，并说明理由；
【拓展运用】
（3）如图
，若
，点是线段
外一动点，
，连接．若将
绕点逆时针旋转得到
，连接
，求出的最大值．
（1）如图
，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______；【类比迁移】
（2）如图
，和是等腰直角三角形，，写出线段与的数量关系，并说明理由；【拓展运用】
（3）如图
，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值．
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5 . （1）问题背景：如图（1），
，
都是等边三角形，
可以由
通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转角（写锐角）的大小、旋转方向；
（2）尝试应用：如图（2），在
中，
，分别以
，为边，作等边和等边
，连接
，并延长交于点
，连接
，若
，求
的值；
（3）拓展创新：如图（3），在四边形中，
，
，
，求的长．
，都是等边三角形，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转角（写锐角）的大小、旋转方向；（2）尝试应用：如图（2），在
中，，分别以，为边，作等边和等边，连接，并延长交于点，连接，若，求的值；（3）拓展创新：如图（3），在四边形
中，，，，求的长．
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6 . 【问题原型】（1）如图1，在中，是边的中线，
，求证：．
【结论应用】（2）如图2，在中，点D是的中点，将沿翻折得到
，连结
．求证：
．
【应用拓展】（3）如图3，在
中，
，点E是边的中点，将沿
翻折得到
，连结
并延长，交于点F．若
，
，
，则
的长为______．
中，是边的中线，，求证：．【结论应用】（2）如图2，在
中，点D是的中点，将沿翻折得到，连结．求证：．【应用拓展】（3）如图3，在
中，，点E是边的中点，将沿翻折得到，连结并延长，交于点F．若，，，则的长为______．
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2024-04-05更新
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258次组卷
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3卷引用：2023年吉林省四平市 伊通满族自治县五校第五次模拟测试卷 数学模拟预测题
2023年吉林省四平市 伊通满族自治县五校第五次模拟测试卷 数学模拟预测题2023年吉林省四平市伊通县五校联考中考数学五模模拟预测题（已下线）考前特训03 几何解答题探究综合压轴题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
7 . 综合与实践
问题情境：在综合与实践课上同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，如图1，在矩形纸片中，
，
，点
，分别为边，上的点，且
.操作发现：
（1）沿
折叠纸片，点恰好与点重合，则
______；
______；
______；
（2）如图2，延长
交的延长线于点，请判断
的形状，并说明理由.
深入思考：
（3）把图2置于平面直角坐标系中，如图3，使
点与原点
重合，点在轴上，将沿翻折，使点落在点
处，连接
，求点的坐标.
问题情境：在综合与实践课上同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，如图1，在矩形纸片
中，，，点，分别为边，上的点，且.操作发现： （1）沿
折叠纸片，点恰好与点重合，则______；______；______；（2）如图2，延长
交的延长线于点，请判断的形状，并说明理由.深入思考：
（3）把图2置于平面直角坐标系中，如图3，使
点与原点重合，点在轴上，将沿翻折，使点落在点处，连接，求点的坐标.
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8 . 综合与实践
如图1，已知菱形．
操作发现：
第一步，如图1，将该菱形沿剪开后得到和
第二步，如图2，保持
位置不动，将放置在
位置，使
，点和点对应，点和点对应，连接
，
（1）猜想四边形
的形状是______；
（2）证明（1）中猜想正确．
实践探究：
（3）若在图2中
，
，将沿着射线方向平移
，得到
，连接
，
，使四边形
恰好为正方形，请求出
的值．
如图1，已知菱形
．操作发现：
第一步，如图1，将该菱形沿
剪开后得到和第二步，如图2，保持
位置不动，将放置在位置，使，点和点对应，点和点对应，连接，（1）猜想四边形
的形状是______；（2）证明（1）中猜想正确．
实践探究：
（3）若在图2中
，，将沿着射线方向平移，得到，连接，，使四边形恰好为正方形，请求出的值．
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9 . 某数学兴趣小组对具有公共顶点，且其中某个角等于大角一半的几何图形中，边与边之间的数量关系进行了如下探索：
初步探索
（1）如图，，分别是正方形的边和边上的点，并且
，我们可通过如下方法探索与
和
之间的数量关系：
因为
，
，所以我们以点为旋转中心，将
绕点顺时针旋转
，使得点与点重合，则点的对应点恰好落在的延长线上，记为点
，由
且易证
，从而可知，，，的数量关系是______．
探索延伸
（2）如图，，是等腰直角的底边上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．
拓展应用
（3）如图，在矩形中，是边的三等分点，为边上的点，且，当，时，直接写出的长．
初步探索
（1）如图
，，分别是正方形的边和边上的点，并且，我们可通过如下方法探索与和之间的数量关系：因为
，，所以我们以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，使得点与点重合，则点的对应点恰好落在的延长线上，记为点，由且易证，从而可知，，，的数量关系是______．探索延伸
（2）如图
，，是等腰直角的底边上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．拓展应用
（3）如图
，在矩形中，是边的三等分点，为边上的点，且，当，时，直接写出的长．
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10 . 【问题背景】（1）如图，
，
，
．求证：
；
【变式迁移】（2）如图，为正方形外一点，
，过点作
，垂足为，连接
．求
的值；
【拓展创新】（3）如图，是
内一点，
，
，
，
，
，直接写出的长．
，，，．求证：；【变式迁移】（2）如图
，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值；【拓展创新】（3）如图
，是内一点，，，，，，直接写出的长．
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