1 . 如图，在中，，点E是边上一动点，过点E作交边于点D，将沿直线翻折，点A落在线段上的F处，连接，当为等腰三角形时，的长为 _______．

   

2 . 如图，在矩形中，，，点E在矩形的边上运动，将沿翻折，使点B落在矩形所在平面内的点处，若有两条边存在3倍的数量关系，则点到的距离为________．

3 . 如图，在矩形中，，，连接，于点O，分别与、交于点E，F．连接、，则的最小值为________．

4 . 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点，若直线交直线于点，，，则的长为________．

5 . 菱形的边长为1，，点E是对角线上不与点A，C重合的一个动点，若以点C，D，E为顶点的三角形恰为等腰三角形，则的长为__________．

6 . 根据材料回答下列小题

(1)【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形．
(2)【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形．
(3)【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积．
(4)【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．

8 . 小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合）， 连接，则， 又∵， ∴___________， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∵点B，D在点A，C，E所确定的上， ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．

【反思归纳】
（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；
【拓展延伸】
（2）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转得，连接交于点D，连接．小东发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②当为直角三角形，且时，直接写出的长．

9 . 如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．

(1)求证：；
(2)连接．
①当时，求的值．
②如果是以为腰的等腰三角形，直接写出的度数．

10 . 如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为______．