1 . 如图，已知圆
的半径
，
是半径
上的一个动点（点不与点
、点重合），作线段
的垂直平分线，分别交线段于点
、交圆于点
和点
（点在点的上方）．连接
并延长，交圆于点
．是线段
中点时，求
的值；
(2)当
时，
如果
，求
的长；
连接
交
于点
，连接
，如果
为等腰三角形，求
的长．
的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）．连接并延长，交圆于点．
是线段中点时，求的值；(2)当
时，如果，求的长；连接交于点，连接，如果为等腰三角形，求的长．
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2 . 在
中，
，
，
，点O是
边上动点，以O为圆心，
为半径的
与边
的另一交点为D，过点D作的垂线，交于点E，交于点F，连结
．
时， 求的半径长；
(2)设
，
，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)若以A为圆心的
与有公共点D、E，当恰好也过点B时，求的长．
中，，，，点O是边上动点，以O为圆心，为半径的与边的另一交点为D，过点D作的垂线，交于点E，交于点F，连结．
时， 求的半径长；(2)设
，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)若以A为圆心的
与有公共点D、E，当恰好也过点B时，求的长．
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3 . 如图，已知菱形
，对角线、
相交于点，
，
．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点
从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线
向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接
、
、
，设点的运动时间为
秒．的长；
(2)在整个运动过程中，
能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由；
(3)以为圆心，为半径作
，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围．
，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒．
的长；(2)在整个运动过程中，
能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由；(3)以
为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围．
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2024八年级下·上海·专题练习
4 . 如图，已知点
，点
，将线段绕点顺时针旋转
，点落在点处，点是
轴上一动点．的解析式；
(2)连结、．若
，求点的坐标；
(3)连结、交线段于点，且
．求
的面积．
，点，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，点是轴上一动点．
的解析式；(2)连结
、．若，求点的坐标；(3)连结
、交线段于点，且．求的面积．
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5 . 已知在中，
，
是
的内角
的平分线，过点作
，交的延长线于点．，求证：
；
(2)如图2，如果
，求
的值；
(3)如果以点为圆心，
长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点，且
，求边的长．
中，，是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．
，求证：；(2)如图2，如果
，求的值；(3)如果以点
为圆心，长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点，且，求边的长．
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6 . 如图，在矩形中，
，是边上一动点，是线段
延长线上一点，且
，
与矩形对角线交于点
．与点重合时，如果
，求的长；
(2)当点在线段的延长线上，
①求
的值；
②如果
，求
的余切值．
中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点．
与点重合时，如果，求的长；(2)当点
在线段的延长线上，①求
的值；②如果
，求的余切值．
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2024九年级下·上海·专题练习
7 . 已知平行四边形中，
，
，
，点是对角线上一动点，作
，射线
交射线
于点，连接
．与点重合时，证明：
；
(2)如图2，点在的延长线上，当
时，求
的长；
(3)当
是以为底的等腰三角形时，求的长．
中，，，，点是对角线上一动点，作，射线交射线于点，连接．
与点重合时，证明：；(2)如图2，点
在的延长线上，当时，求的长；(3)当
是以为底的等腰三角形时，求的长．
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2024九年级下·上海·专题练习
8 . 在中，，
，
，点、分别在边、上，且
（如图），将
沿直线翻折，翻折后点落在点
处．如果
，那么
___________ ．
中，，，，点、分别在边、上，且（如图），将沿直线翻折，翻折后点落在点处．如果，那么
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9 . 如图，矩形ABCD中，
，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形
，使点D在直线
上，那么线段
的长度是______ ．
，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是
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2024九年级下·上海·专题练习
10 . 如图，在四边形中，
，
，
，点为对角线的中点，射线交边于点．
；
(2)如果
，求
的余弦值；
(3)当
是等腰三角形时，求线段
的长．
中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点．
；(2)如果
，求的余弦值；(3)当
是等腰三角形时，求线段的长．
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