1 . 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（       ）

   

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

4 . 【问题情境】同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”
如图1，，其中，此时，点与点重合．
【操作探究】（1）小明将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，直接写出线段与线段的数量关系是         ．
【拓展应用】（2）小亮将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，小亮提出如下问题，请你解答：
①如图3，当时，直接写出线段的长为         ；
②如图4，当旋转到点是边的中点时，求线段的长．

5 . 如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

6 . 在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离．

例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是        ；
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是       ，点O与双曲线之间的距离是       ．
【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少?

7 . 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

(1)思路梳理：
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
易证      ，得．
(2)类比引申：
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由．
(3)联想拓展：
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．

8 . 如图，正方形中，E是上一点， 将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则．其中正确的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

9 . 如图1，在四边形中，，，，连接．求证：．

(1)【思维探究】小明的思路是：延长到点，使，连接．根据，推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形中，，，连接，猜想，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形中，，，与相交于点．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长．