1 . 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：在线段上截取，连接、．
1°当点P在直线外时，

证明过程缺失

2°当点P在直线上时，
易知．
综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　．
【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　．

2 . 如图1，在四边形中，，，，，点在上，作交于点，点为上一点，且，如图2，作的外接圆交于点，连结，设，．

   

(1)求的长；
(2)求关于的函数表达式；
(3)当与的一边相等时，求满足所有条件的的长．

4 . 小颖使用数学软件进行正方形折叠实验，其操作过程是：首先，将边长为2的正方形纸片（如图1）进行翻折，使，两个直角的顶点始终重合于对角线上一点P，折痕为，，则正方形变为六边形（如图2）；其次，移动点P的位置，改变六边形的形状（如图3）．最后，小颖利用数学软件中的周长测量工具和面积测量工具对六边形进行了测量，有了新发现．设，请解决下列问题：

(1)当时点P在什么位置？答：                ；
(2)证明：四边形为正方形；
(3)六边形周长是否为定值？请证明你的判断；
(4)请说明当时，六边形面积的变化规律并进行数学解释．

6 . 根据以下素材，探索完成任务．

折纸确定矩形一边上的三等分点
素材1	第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将正方形沿对角线折叠，展开； 第三步：将正方形沿折叠，展开，折痕、交于点G； 第四步：过点G折叠正方形，使点D落在边上，折痕为； 则点M即为边的三等分点．
素材2	第一步：对折正方形，展开，折痕为； 第二步：将边沿折叠到的位置； 第三步：将点A沿折叠到点H的位置，折痕交正方形的边于点M； 则点M即为边的三等分点．
问题解决
任务1	证明素材1或素材2中方法的正确性．（两个素材选一个完成，选择素材1完成满分3分，选择素材2完成满分5分，若两个素材都完成按得分较高的给分．）
任务2	已知矩形，通过折纸找出边上的一个三等分点，画出折痕，并简要说明折叠方法．

7 . 已知：如图，在中， ，，，，将沿方向匀速运动得到，已知平移速度为1，分别与，相交于、，与相交于，设运动时间为．

解答下列问题：
(1)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是正方形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由；
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(3)连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．