名校
1 . 在
中，
，点
是直线
上一动点，连接
．平分
，
于点
，若
，
，求线段的长；
(2)如图2，若
，点在线段上，
，
，
于点
，交
的延长线于点
，过点
作
于点
，猜想线段
，
，
之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点
是平面内一点，且
，
，过点作
于点
，交
于点
，连接
，
，若
，
，当取最小值时，直接写出
的面积．
中，，点是直线上一动点，连接．
平分，于点，若，，求线段的长；(2)如图2，若
，点在线段上，，，于点，交的延长线于点，过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，点
是平面内一点，且，，过点作于点，交于点，连接，，若，，当取最小值时，直接写出的面积．
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名校
2 . （1）如图1，已知正方形纸片
，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长
交
于点F，连接
，求
的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿
继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则
①
；
②若
线段 
；
（3）如图3，在矩形中，
，点E、F 分别在边
上，将矩形沿
折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 
，求
的长．
，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数；（2）如图2，将正方形纸片沿
继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则①
；②若
线段 ；（3）如图3，在矩形
中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．
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3 . 已知一副三角板如图所示放置，含
角的三角板的直角顶点 D 在含
角的三角板斜边的中点处，点 M，N 分别是直角边 
，上的两点，且
．连接，
，其所在的两条直线相交于点 H，连接
．当直角板
在绕 D点旋转时，若
，则长度的最小值为（ ）
角的三角板的直角顶点 D 在含角的三角板斜边的中点处，点 M，N 分别是直角边 ，上的两点，且．连接，，其所在的两条直线相交于点 H，连接．当直角板在绕 D点旋转时，若，则长度的最小值为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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4 . 如图1，在中，
为AC边上一点，
，O为中点．的距离为_________．
(2)求证：
．
(3)如图2，将与全等的
如图放置，与重合，点与
点重合，将沿方向向右平移，平移速度为每秒1个单位长度，如图3．当点E到达点
后立即绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒
，如图4，当点落在直线上时停止旋转．
①从平移开始到旋转结束，求点D经过路径的长度．
②求点M落在内部（包含边界）的时长．
③在旋转过程中，设、与的边分别交于点P、Q，当
时，直接写出
的值．（参考数据：
）
中，为AC边上一点，，O为中点．
的距离为_________．(2)求证：
．(3)如图2，将与
全等的如图放置，与重合，点与点重合，将沿方向向右平移，平移速度为每秒1个单位长度，如图3．当点E到达点后立即绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，如图4，当点落在直线上时停止旋转．①从平移开始到旋转结束，求点D经过路径的长度．
②求点M落在
内部（包含边界）的时长．③在旋转过程中，设
、与的边分别交于点P、Q，当时，直接写出的值．（参考数据：）
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名校
5 . 和
是以点
为公共顶点的等腰三角形，其中
，
，
，连接．
，点在的延长线上时，点为中点，连接
．若
，
，求
的长；
(2)如图2，点为中点，连接，
，交于点．点
是上一点，连接
．延长，相交于点．若
，求证：
；
(3)如图3，当，点在的延长线上时，延长
至点
，使得
．延长至点，使得
，连接
．若
，当的长度取最小值时，请直接写出
的面积．
和是以点为公共顶点的等腰三角形，其中，，，连接．
，点在的延长线上时，点为中点，连接．若，，求的长；(2)如图2，点
为中点，连接，，交于点．点是上一点，连接．延长，相交于点．若，求证：；(3)如图3，当
，点在的延长线上时，延长至点，使得．延长至点，使得，连接．若，当的长度取最小值时，请直接写出的面积．
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6 . 综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在
中，
，
的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以
为邻边作
，为矩形时的情形，发现四边形
是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接
，得到图2，发现图2中线段与之 间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，
．当
时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在
中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作，
为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论；（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接
，得到图2，发现图2中线段与之 间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对
展开类似研究．如图3，在中，．当时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
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昨日更新
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28次组卷
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2卷引用：河南省安阳市北关区安阳市第八中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题
名校
7 . 如图，在中，点是边上一动点，连接．
是边上一点，连接，若
，平分
，
．当
，
时，求线段
的长度；
(2)如图2，
，当
且
时，将线段绕着点逆时针旋转到，使
，连接，过点作
于点，点为边中点．连接
并延长交的延长线于点，且
交
于点．若
，求证：
；
(3)如图3，当，
时，将线段绕着点顺时针旋转
到，是边上一点且
，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将
沿直线
翻折到同一平面的
，连接
、
．当
最小时，直接写出
的面积．
中，点是边上一动点，连接．
是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度；(2)如图2，
，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：；(3)如图3，当
，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积．
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名校
8 . （1）问题呈现：如图1，和
都是直角三角形，
，且
．连接
，，求
的值．
（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转
得到，连接，，延长交于点，设
，求的长；
（3）拓展提升：如图3，在等边中，，是边上的中线，点从点移动到点，连接
，以为边长，在的上方作等边
，求点经过的路径长．
和都是直角三角形，，且．连接，，求的值．（2）类比探究：如图2，
是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长；（3）拓展提升：如图3，在等边
中，，是边上的中线，点从点移动到点，连接，以为边长，在的上方作等边，求点经过的路径长．
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237次组卷
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2卷引用：2024年广东省深圳市南山外国语学校中考二模数学试题
9 . 沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义 ：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．
活动一：如图1，展示了一种用尺规作
的内接正六边形的方法．
(1)根据正多边形的定义 ，我们只需要证明__________，________
（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形
是正六边形．
活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法．
(2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形
是正五边形．
（参考数据：
，
，
，
，
．）
活动一：如图1，展示了一种用尺规作
的内接正六边形的方法．①在上任取一点，以为圆心、 为半径作弧，在上截得一点；②以 为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、；③顺次连接 、、、、、 ．
|
(1)
（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形
是正六边形．活动二：如图2，展示了一种用尺规作
的内接正五边形的方法．①作的两条互相垂直的直径 和；②取半径  的中点；再以为圆心、 为半径作弧，和半径 相交于点；③以点 为圆心，以 的长为半径作弧，与相截，得交点．如此连续截取3次，依次得分点 、、，顺次连接、、、、 ，那么五边形是正五边形． |
(2)已知
的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形．（参考数据：
，，，，．）
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10 . 已知：
和
相交于A、B两点，线段
的延长线交于点C，
、
的延长线分别交于点D、E．、，、分别与连心线相交于点H、点G，如图1，求证：
；
(2)如果
．
①如图2，当点G与O重合，的半径为4时，求的半径；
②连接
、，与连心线相交于点F，如图3，当
，且的半径为2时，求
的长．
和相交于A、B两点，线段的延长线交于点C，、的延长线分别交于点D、E．
、，、分别与连心线相交于点H、点G，如图1，求证：；(2)如果
．①如图2，当点G与O重合，
的半径为4时，求的半径；②连接
、，与连心线相交于点F，如图3，当，且的半径为2时，求的长．
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