1 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，，将沿翻折得到，直线交于点，直接写出的长为         ．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接，以为边作正方形（A，C，D，E顺时针排列），探究以下问题：

(1)①当时，点D的坐标为______；
②用含m的代数式表示点D的坐标为______；
(2)连接，的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由；
(3)平面内是否存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为．

(1)求的值及顶点的坐标；
(2)点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标．

4 . 在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，对角线相交于原点，点是线段上一动点（不与点重合），以为腰向右侧作等腰，满足．
(1)如图1，当点在点左侧时，连接，则与之间的数量关系是     ，与之间的位置关系是      ；

(2)如图2，当点在点右侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

(3)连接，请在备用图中完成下列探究：
①在点的运动过程中，的长度存在最小值为         ；

②若，请求出此时点的坐标．

6 . 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为________．

7 . 如图，已知中，．

   

(1)请在图1中用圆规和无刻度的直尺作，使得经过点，同时圆心落在边上，且与边相切于．
(2)在（1）的条件下，若，，为的内心，则的半径长为______，______．

8 . 如图1，在菱形中，，，点为边上的动点．

(1)为边上一点，连接，将沿进行翻折，点恰好落在边的中点处，
①求的长；
②求的值．
(2)如图2，延长到，使，连接与，与交于点，连接，设，，求关于的函数表达式；当点从点沿方向运动到点时，直接写出点运动路径的长．

9 . 如图，有一张矩形纸条，，，点M，N分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点，上．

(1)当点恰好落在边上时，
①证明：是等腰三角形；
②求线段的长；
(2)点M从点A向点B运动的过程中，若线段与边交于点E，
①求此运动过程中，的最大值；
②请直接写出点E相应运动的路径长．

10 . 问题提出
如图（），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？

问题探究
（）先将问题特殊化如图（），当点，重合时，易证（），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；
（）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立．
问题拓展
（）如图（），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．