3 . 在中，，点E是内部的一点，连接，且，延长交于点D．

   

(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，过点A作交的延长线于点F，过点B作交于点M，求证：．
(3)如图3，在（1）问的条件下，点H是的中点，点О是直线上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，直接写出当取最小值时的值．

4 . 如图，在中，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到，D给好落在直线上；过点作垂直直线于点，在直线上再取两点（点在点左侧），连接，且，；
(1)如图1，在线段上，若，，，诸求出线段的长；

(2)如图2，在线段上，连接交于点，若时，求证：；

(3)如图3，在线段延长线上，且，在上取一点使得，当取得最小值时，请直接写出此时的值．

6 . 在中，．

(1)如图1，若， 以为边在下方作等边，，与交于点O，连接，求四边形的面积；
(2)如图2，若，以为边在下方作等边，连接，过点A作于点E，求证∶；
(3)如图3，若，在下方作等腰，过点F作交延长线于点G，T为中点，M为延长线上一点，将绕点F顺时针旋转至，旋转角为，连接，，，，，当最小时，直接写出的面积．

7 . 如图，在中，点是边上一动点，连接．

(1)如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度；
(2)如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：；
(3)如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积．

8 . 如图：矩形的顶点、分别在坐标轴上，点的坐标为．

(1)若、满足：，直接写出点的坐标______；
(2)已知：、分别平分、，连并延长交边于点，若点为边中点，求的值；
(3)点、分别在边、轴上，、相交于，点的坐标为，，若，求的长．

9 . 在中，，点是直线上一动点，连接．

   

(1)如图1，平分，于点，若，，求线段的长；
(2)如图2，若，点在线段上，，，于点，交的延长线于点，过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点是平面内一点，且，，过点作于点，交于点，连接，，若，，当取最小值时，直接写出的面积．

10 . 如图，在等边中，，点是所在直线上一点，连接．

(1)如图1，点在线段上，若，求的长；
(2)如图2，点在线段上，点是线段上一点，满足，连接交于点．过作于，点是延长线上一点，连接交于点．若，求证：；
(3)如图3，过作交直线于，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积．