1 . 在中点复习课中，刘老师提出了如下问题：

如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围．
【初步分析】
小明经过分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的取值范围，于是可求得的取值范围．
（1）请回答：
①如图1，连接，由已知和作图能得到的理由是______．
A．             B．             C．             D．
②求得的取值范围是______．
A．             B．             C．             D．
【感悟探究】
小明经过反思发现，解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
于是小明尝试用这种方法证明“中位线定理”
如图2，分别是的边的中点，求证：，且．
小明延长至F，使，连接．
（2）请帮助小明完成证明．
【感悟拓展】
小明经过再次反思发现，解题时，条件中若出现多个“中点”字样，还可以考虑用中位线来研究中位线和三角形底边的数量关系和位置关系．请解决以下问题：
（3）如图3，在等边三角形中，点P为射线位于点C右侧的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C的对应点为点D，连接，点Q为的中点，连接．若，当时，直接写出的长度．

2 . 综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：

如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？     在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线．

   

(1)初步观察：
连接，则与的数量关系是：________；
(2)初步探究：
请帮助莹莹求出的面积；
(3)猜想验证：
莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
(4)拓展探究：
莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．

3 . 综合实践：数学活动课上，老师让同学们对正方形中的对称变换进行探究：如图，正方形中，E为边上一动点，作点D关于直线AE的对称点F，连接、，延长与交于点G，连接．

(1)观察发现：同学们发现，当点E在边上运动时，的度数始终不变，如图①请你写出的度数______，并说明理由；
(2)深入探究：如图②连接，，则是______（填形状），进一步探究发现，线段与存在特定的数量关系，请写出与的数量关系______，并给出证明；
(3)拓展应用：如图③连接，H为的中点．连接，若已知，请直接写出的最大值______．

6 . （1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长．

8 . 问题提出：
如图1，在四边形ABCD中，，，若E，F分别为AB，CD的中点，则．

(1)问题探究：
小明同学进行了如下的推理：连接AF并延长AF交BC的延长线于点G．由AB=CD，AD=BC，根据定理　①　，可得四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴，∴，，又AE=BE，根据定理　②　有，．
请补全问题探究：定理①是______，定理②是______．（请将正确答案前面的序号填写在横线上）
A．三角形的中位线等于第三边的一半；
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
C．三角形的中位线平行于第三边；
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(2)拓展应用：
①如图2，在四边形ABCD中，，，E，F分别AB，CD的中点，判断线段EF，AD，BC之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，已知直线l，且这两条平行线间的距离为4，．点P为直线l上一动点，连接BP，点C为BP的中点，连接AC，作交直线l于点D，连接AD．设的面积为S，当时，直接写出线段AD长度的取值范围．