1 . 【问题情境】
图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体．
如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取中点，中点，连接，沿将分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将绕点旋转，与四边形拼接成平行四边形．此时，的面积与的面积相等．

【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题：
如图②，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计．
【拓展应用】如图③，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计．

2 . 在中点复习课中，刘老师提出了如下问题：

如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围．
【初步分析】
小明经过分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的取值范围，于是可求得的取值范围．
（1）请回答：
①如图1，连接，由已知和作图能得到的理由是______．
A．             B．             C．             D．
②求得的取值范围是______．
A．             B．             C．             D．
【感悟探究】
小明经过反思发现，解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
于是小明尝试用这种方法证明“中位线定理”
如图2，分别是的边的中点，求证：，且．
小明延长至F，使，连接．
（2）请帮助小明完成证明．
【感悟拓展】
小明经过再次反思发现，解题时，条件中若出现多个“中点”字样，还可以考虑用中位线来研究中位线和三角形底边的数量关系和位置关系．请解决以下问题：
（3）如图3，在等边三角形中，点P为射线位于点C右侧的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C的对应点为点D，连接，点Q为的中点，连接．若，当时，直接写出的长度．

4 . 【阅读理解】
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
该定理可以通过以下方法进行证明．
已知：如图1，在中，点，分别是边，的中点，连接．
求证：，．
证明：建立如图2所示的平面直角坐标系，其中点与原点重合，点在轴正半轴上，则点．
设，，
点，分别是，的中点，
点的坐标为①，点的坐标为②．
点和点的③坐标相同，
轴．即．
又由点和的坐标可得的长为④．
．
请完善以上证明过程，并按照番号顺序将相应内容填写在下列横线上：
①　　；②　　；③　　；④　　．
【联系拓展】
如图3，在中，，是线段上的动点（点不与，重合），将射线绕点顺时针旋转得到射线，过作于点，点是线段的中点，连接．
（1）若，，，求的长；
（2）请探究线段与之间满足的数量关系．