1 . 问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图，和都是等腰直角三角形，，点分别在边上，连接，点分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系．

问题探究：
（）甲小组发现：图中，线段与的数量关系是     ，位置关系是      ；
（）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明；
问题拓展：
（）两小组的同学继续探究：把 绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值．

2 . 综合与探究：
(1)【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明：

如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：；
(2)【拓展延伸】
如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：；
(3)【问题解决】
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长．

3 . 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【探究】下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
方法一： 证明：如图，延长到点，使，连接，，．	方法二： 证明：取中点，连接并延长到点，使，连接．

【应用】如图1，点，，，分别是四边形的边，，，的中点，连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展】如图2，的中线，相交于点，已知，，请求出点到直线的距离．

   

5 . 如图1，在中，，，点D，E分别在边上，，连接，点F，H，G分别为的中点连接．

(1)观察猜想：图1中，线段与的关系是____________．
(2)探究证明：把绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由．
(3)拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，求面积的最大值．

6 . 综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．

   
(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长______，面积为______．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为20，，则完美矩形的周长为______．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．

9 . 如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

   

(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

10 . 【问题背景】

如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处．
【问题探究】
（1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G．
①求的值，并说明点M是的中点；
②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值．