1 . 【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：

   

（1）取，的中点D，E，在边上作；
（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；
（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；
（4）延长，交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q，A，T在一条直线上；
②四边形是矩形；
③；
④四边形与的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．
【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．
【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长．

2 . 如图，在中，，为的平分线，为的外角的平分线，，垂足为点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点，写出与间的数量关系，并证明你的结论．

3 . 数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是的边，的中点，求证：，且．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（       ）

嘉嘉的辅助线作法：延长到点F，使，连接，，．

淇淇的辅助线作法：过点E作，过点A作，与交于点F．

A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以	B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以	D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以

4 . 如图，在中，，，点D为边中点，于E，作的平分线交于点F，过点E作的垂线交于点G，交于点H．

   

(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)判断线段、与之间的数量关系，并证明．

5 . 在正方形中，对角线交于点O，E，F是上的两点，连接，分别过点B，F作的垂线，，垂足分别为H，M．

(1)若，求证：；
(2)若，求证：；
(3)若F是的中点，探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

7 . 【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．已知：如图1，D，E分别是的边，的中点．求证：，且．

（1）如图2，小明在研究了课本的证法后，想到了“延长至点F，使，连接”．
请你按照小明的提示完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图3，在四边形中，，，E，F分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图4，在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，则的长是        ．

8 . 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．（画出图形，写出已知、求证，并证明）

9 . 在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点；
(2)如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明．

10 . 如图，已知矩形，，P是上一动点，M，N，E分别是的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，判断四边形是什么图形，并证明你的结论；
(3)当四边形为菱形时，求的值．