1 . 阅读理解：
小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点为的中点，根据“中线长定理”，可得：．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点作于点，如图2，在中，，
同理可得：，




   
(1)如图1，在中，点为的中点，，则______；
理解运用：
(2)如图3，的半径为6，点在圆内，且，点和点在上，且，点分别为的中点，求的长；
拓展延伸：
(3)小明解决上述问题后，联想下题目：如图4，已知的半径为，以为直角顶点的的另两个顶点都在上，为的中点，则长的最大值是______．

2 .

(1)方法呈现：如图①：在中，若，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
(2)探究应用：
如图②，在中，点是BC的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．

3 . （1）阅读理解：如图1，在中，点是的中点，若，，求长的取值范围。小明同学是这样思考的：延长至，使，连接，利用全等将边转化到，在中利用三角形的三边关系，即可求出长范围．请根据小明的思考解答本题．
（2）灵活运用：如图2，在中，点是的中点，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，请探究与的关系，并说明理由．

5 . 如图，在等腰中，，．是线段上一动点，取的中点，连接，．
小刚根据学习函数的经验，对线段，，的长度之间的关系进行探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整：
（1）观察计算：根据点在线段上的不同位置，通过取点，画图和测量，得到了，，的长度（单位：）的几组值，如表：

	位置	位置	位置	位置	位置	位置	位置	位置	位置
				3.0

（2）操作发现：
①在，，的长度这三个量中，确定________的长度为自变量，___________的长度和_______的长度分别都为这个自变量的函数．
②当为的中点时，的长是一个固定的值．请求出上表中的值为____________．
（3）描点画图：在同一平面直角坐标系中，根据（1）表格中的数据，画出所确定的函数图象．
（4）解决问题：直接写出：当为等腰三角形时，线段的长度的近似值．（结果保留一位小数）

6 . 如图1，在Rt△ABC中，D为AB的中点，P是BC边上一动点，连接PD，PA．若BC＝4，AC＝3，设PC＝x（当点P与点C重合时，x的值为0），．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．

(1)通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如下表：

x	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
y	5.5	5.15		4.94	5.1	5.5		6.7	7.5

说明：补全表格时，相关数值保留一位小数．
（参考数据：，，）．
(2)如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象．
(3)观察图象，下列结论正确的有______．
①函数有最小值，没有最大值                       ②函数有最小值，也有最大值
③当时，y随着x的增大而增大             ④当y>5.5时，x的取值范围是x>2.5

8 . 小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，在等腰△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，P是AC上的一个动点，AC＝4cm，当△PEF为等腰三角形时，求线段AP的长度．小亮根据学习函数的经验，尝试结合函数研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

(1)根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AP，PE，PF的长度，得到下表的几组对应值：

AP/cm	0	0.5	1	1.5	2	3	3.5	4	4.5
PE/cm	1.12	0.71	0.50	0.71	1.12	1.58	2.06	2.55	3.04
PF/cm	3.04	2.55	2.06	1.58	a	0.71	0.50	0.71	1.12

表格中a的值为 　 　；
(2)将线段AP的长度作为自变量x，PE和PF的长度都是x的函数，分别记为y_PE和y_PF，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y_PE的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中画出函数y_PF的图象；
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△PEF为等腰三角形时，线段AP的长度．（结果保留一位小数）

9 . 小明在学习过程中，遇到这样一个问题：如图1，在菱形中，点M，N分别是边，的中点，点P是对角线上的动点，连接，，，当是等腰三角形时，求线段的长度．小明根据学习函数的经验，对此问题进行了以下探究，请补充完整．

（1）对于点P在对角线上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表：

	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
	2.5	1.8	1.4	1.8	2.5	3.3	4.2	5.2	6.2
	6.2	5.2	4.2	3.3	2.5	1.8	1.4	1.8	2.5

①通过观察（1）中表格，可以得到菱形的对角线长为________，菱形的边长为________；
②在，，的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数．
（2）在平面直角坐标系中画出（1）②中确定的函数图象．
（3）结合函数图象，当是等腰三角形时，线段的长度为________．（结果保留一位小数）

10 . 在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=8．

（1）如图1，若AB⊥AC，BD=12，点P是线段AD上的动点（不包含端点A，D），过点P作PE⊥AC，垂足为点E，PF⊥BD，垂足为点F，设PE=x，PF=y，求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，点F为BC中点，且点F保持在点E的右边，求线段BC的变化范围．