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(1)方法呈现：如图①：在中，若，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
(2)探究应用：
如图②，在中，点是BC的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．

2 . （1）阅读理解：如图1，在中，点是的中点，若，，求长的取值范围。小明同学是这样思考的：延长至，使，连接，利用全等将边转化到，在中利用三角形的三边关系，即可求出长范围．请根据小明的思考解答本题．
（2）灵活运用：如图2，在中，点是的中点，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，请探究与的关系，并说明理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线分别交轴，轴于点，．

(1)求的度数；
(2)点是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，点在第三象限，其中，连接．设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为轴正半轴上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交轴于点，过点作交轴于点，若，，求点的坐标．
（说明：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．）

5 . 在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．
   
(1)如图①，当时，求与的交点的坐标；
(2)如图②，连接，当经过点A时，求的长；
(3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)．

6 . 在平面直角坐标系中，两个形状、大小完全相同的三角板OBC，DEF，按如图所示的位置摆放，O为原点，点B(12，0) ，点B与点D重合，边OB与边DE都在x轴上．其中，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°．
（1）如图①，求点C坐标；
（2）现固定三角板DEF，将三角板OBC沿x轴正方向平移，得到△O′B′C′ ，当点O′ 落点D上时停止运动．设三角板平移的距离为x，两个三角板重叠部分的面积为y．求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）条件下，设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，当点M与点N之间的距离最小时，点M的坐标（直接写出结果即可）．
   

7 . 在平面直角坐标系中，为原点，点，点.若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为.

（Ⅰ）如图①，当时，求与的交点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当时，求点的坐标；
（Ⅲ）若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可)．

8 . 将等边三角形如图放置在平面直角坐标系中，，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．

(1)如图1，求点E的坐标；
(2)在图1中，与交于点，连接，为的中点，连接，求线段的长．请你补全图形，并完成计算；
(3)如图2，将绕点逆时针旋转，为线段的中点，为线段的中点，连接，请直接写出在旋转过程中的取值范围．