1 . 阅读理解：
小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点为的中点，根据“中线长定理”，可得：．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点作于点，如图2，在中，，
同理可得：，




   
(1)如图1，在中，点为的中点，，则______；
理解运用：
(2)如图3，的半径为6，点在圆内，且，点和点在上，且，点分别为的中点，求的长；
拓展延伸：
(3)小明解决上述问题后，联想下题目：如图4，已知的半径为，以为直角顶点的的另两个顶点都在上，为的中点，则长的最大值是______．

2 .

(1)方法呈现：如图①：在中，若，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
(2)探究应用：
如图②，在中，点是BC的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．

3 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为直角三角形，在轴上，，，，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，记旋转角为．

(1)如图①，若，求点的坐标；
(2)如图②，若，求点的坐标；
(3)如图③，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，求的取值范围（直接写出结果即可）．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线分别交轴，轴于点，．

(1)求的度数；
(2)点是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，点在第三象限，其中，连接．设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为轴正半轴上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交轴于点，过点作交轴于点，若，，求点的坐标．
（说明：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．）

5 . 在平面直角坐标系中，为原点，点，点.若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为.

（Ⅰ）如图①，当时，求与的交点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当时，求点的坐标；
（Ⅲ）若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可)．

6 . 将等边三角形如图放置在平面直角坐标系中，，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．

(1)如图1，求点E的坐标；
(2)在图1中，与交于点，连接，为的中点，连接，求线段的长．请你补全图形，并完成计算；
(3)如图2，将绕点逆时针旋转，为线段的中点，为线段的中点，连接，请直接写出在旋转过程中的取值范围．