2 . 在△ABC中，∠ABC=90°，N是AB延长线上一点，点M在BC上．

【基础巩固】
(1)如图1，若AB=BC，CN⊥AM，求证：BM=BN；
【变式探究】
(2)如图2，若AB=BC，过点B作BP⊥AM于点P，连接CP并延长交AB于点Q．
求证：；
【拓展提高】
(3)如图3，设=k(k≠1)，M是BC的中点，过点B作BP⊥AM于点P，连接CP并延长交AB于点Q．求tan∠BPQ的值（用含k的式子表示）．

3 . 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF；取AF中点M，EF的中点N，连接MD，MN．

(1)连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
(2)在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是___________________________；
结论2：DM、MN的位置关系是___________________________；
拓展与探究：
(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

4 . 如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上， AD=AE ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______；
(2)探究证明
若△ABC为直角三角形， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点DE分别在边AB，AC上， AD=AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2．连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
若△ABC中∠BAC=120°， AB=AC=13，点D，E分别在边AB，AC上， AD=AE=5 ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①△PMN的是______三角形．
②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值取值范围．

6 . 爱好思考的小实在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

(1)【特例探究】
①如图1，当tan∠PAB＝1，时，a＝______，b＝______．
②如图2，当∠PAB＝30°，c＝4时，a＝______，b＝______．
(2)【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
(3)【拓展证明】
如图4，在△ABC中，，，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至点G，使得GE＝DE，连结BG．若BG⊥AC于点M时，求GF的长．

8 . 如图1，在中， ，，点，分别在边、上，，连接，点，，分别为，，的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出周长的最小值．

10 . 探究：

(1)【证法回顾】
证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，是的中位线．
求证：，．
证明：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接；请继续完成证明过程；
(2)【问题解决】
如图2，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
(3)【拓展研究】
如图3，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．