1 . 甲乙丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与边交于点O，乙再折出射线，点E在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点B对应点为点D，连接；则下列说法错误的是（       ）

A．四边形为平行四边形

B．中，若，则四边形为矩形

C．若，则四边形为正方形

D．若射线平分，则四边形为菱形

2 . 【探究与证明】
【探究】某数学兴趣小组在学完第十八章《平行四边形》之后，探究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法：

（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
（2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到了线段．
【证明】请根据上述过程完成下列问题：
(1)连接，如图2．请直接写出：______；
(2)请判断和的数量关系，并说明理由；
(3)乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请证明四边形是平行四边形．

3 . 如图，是矩形的对角线，平分，交于点E，．

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据图形证明四边形为平行四边形，请完成下面的填空，
证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴______，
又∵平分，平分，
∴______，______．
∴，
∴
又∵四边形是矩形，
∴______．
∴四边形为平行四边形．

4 . 若一个四边形的四边的长依次为，，，，且满足，则该四边形一定是（     ）

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

5 . 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，，．

   

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由．

6 . 如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，．

(1)求证四边形是平行四边形；
(2)当时，求证四边形是矩形．

7 . 在四边形中，，，，，求证四边形是平行四边形．

   

8 . 已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．

(1)四边形的形状是__________，证明你的结论．
(2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．

10 . 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接交于点，连接．

(1)求证：；
(2)已知，若，求的长．