1 . 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．

特例探索
（1）①如图1，当，时，______，______；
②如图2，当，时，______，______；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，求的值．

2 . 问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；
拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．

3 . 在中，P为边上一点
(1)如图，若，求证：；

(2)如图，若M为的中点，，，，求的长；

(3)如图，D为上一点，点E为的中点，，，，，直接写出的长．

5 . （1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长        ．

（2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长；

（3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长        ．

6 . 如图，等腰直角中，，，于点D，E为平面内一动点，且，F为中点，连接，则的最大值为__________．

7 . 如图，已知正方形的边长为，在边的延长线上有一动点，以为对角线作正方形，连接，为的中点，连接、则当的面积最小时，正方形的边长为_____．

8 . 如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．且满足．

   

(1)求C点的坐标；
(2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与、、的交点分别为D、F、E，求折痕的长；
(3)若点M在x轴上，以M、D、F、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

9 . 四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为______．

10 . 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．作，若，则的值为________．