1 . 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形
的顶点A在格点上，
，以
为直径的半圆与边
的交点D在网格线上．
的值等于______________ ；
（2）若P为边
上的动点，当．
取得最小值时，请用无刻度 的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________ ．
的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上．
的值等于（2）若P为边
上的动点，当．取得最小值时，请用
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2 . 凡奥贝尔定理是数学中的一个重要定理，凡·奥贝尔（
）是19世纪的一位德国数学家和工程师，他在数学和工程领域做出了多项贡献．其中，他提出了一个关于四边形和正方形的定理，即凡·奥贝尔定理．该定理指出，在任意一个四边形中，如果在其边外侧构造一个正方形，并将相对的正方形的中心连起，那么这两条线段将相等且互相垂直．如图1，以四边形
的边为边向外作四个正方形，四边形
，四边形
，四边形
，四边形
，
与
相交于点R，
与相交于点N，其中心分别为
，连接
相交于点P，证明：
．
证明过程如下：
连接
，取的中点M，连接
，
四边形，四边形是正方形
在
和
中
在
和
中
为
的中点，M为的中点
（依据①）
同理
同理可得：____________________
，
……
(2)按照上面的思路，完成该定理的证明的剩余部分
(3)已知
，分别，，为边向外作正方形
，
，
，点
分别是正方形，，的对角线交点，连接
其中
，则四边形
的面积为__________．
）是19世纪的一位德国数学家和工程师，他在数学和工程领域做出了多项贡献．其中，他提出了一个关于四边形和正方形的定理，即凡·奥贝尔定理．该定理指出，在任意一个四边形中，如果在其边外侧构造一个正方形，并将相对的正方形的中心连起，那么这两条线段将相等且互相垂直．如图1，以四边形的边为边向外作四个正方形，四边形，四边形，四边形，四边形，与相交于点R，与相交于点N，其中心分别为，连接相交于点P，证明：．证明过程如下：
连接
，取的中点M，连接，四边形，四边形是正方形在
和中在
和中为的中点，M为的中点（依据①）同理
同理可得：____________________
，……
(2)按照上面的思路，完成该定理的证明的剩余部分
(3)已知
，分别，，为边向外作正方形，，，点分别是正方形，，的对角线交点，连接其中，则四边形的面积为__________．
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3 . 【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在
中，
，点D是的中点．求证：
．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长
至点E，使
，连接
；
小华：如图3，取的中点E，连接
；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．中，
是高，求证：B，C，D，E四点共圆．
【拓展提升】（3）如图5，在五边形
中，
，
，F为的中点，求证：
．
中，，点D是的中点．求证：．下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长
至点E，使，连接；小华：如图3，取
的中点E，连接；（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆．【拓展提升】（3）如图5，在五边形
中，，，F为的中点，求证：．
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4 . 【教材呈现】如图，在中，点D、E分别是与的中点．则与的关系是
，
；中，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连结
、
、
．
，
与
的数量关系是____________．
【应用】如图2，在中，
，
，、
是的中线，M、N分别是和的中点，求的长；
【拓展】如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，
，点G是
的中点，连接
交于点F，若点F为的中点，
，连接
，求
的值．
中，点D、E分别是与的中点．则与的关系是，；
中，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连结、、．，与的数量关系是____________．【应用】如图2，在
中，，，、是的中线，M、N分别是和的中点，求的长；【拓展】如图3，在平行四边形
中，点E为边上一点，连接，点P在上，，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，，连接，求的值．
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5 . 小东在学习过程中，注重知识的迁移和延伸，下面是他在“图形的旋转”主题下设计的问题，请你解答．
如图1，在中，
，
，点
是边上一动点（不与点
，
重合），连接，将线段绕点
逆时针旋转
，得到线段
，连接，，则
______；若点
，
分别是，的中点，则，之间的数量关系为_____．
(2)迁移应用
如图2，在中，，
，
于点，点
是线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转
，得到线段
．点
在线段
上，且
．猜想
，
之间的位置关系，并就图2所示的情形给出证明．
(3)问题解决
在（2）的条件下，若
，
，当
是直角三角形时，请直接写出的长．
如图1，在
中，，，点是边上一动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则______；若点，分别是，的中点，则，之间的数量关系为_____．(2)迁移应用
如图2，在
中，，，于点，点是线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，得到线段．点在线段上，且．猜想，之间的位置关系，并就图2所示的情形给出证明．(3)问题解决
在（2）的条件下，若
，，当是直角三角形时，请直接写出的长．
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6 . 如图
，
和
都是等腰直角三角形，且
，
，
．
绕着点逆时针旋转，连接．
时，求的长；
(2)如图
，若
、
、分别是、，的中点，连接
、，试猜想与的关系，并证明你的猜想：
(3)如图
，在旋转过程中，连接、，当
有最大值时，把
沿着翻折到与同一平面内得到
，请直接写出
的面积．
，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接．
时，求的长；(2)如图
，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想：(3)如图
，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积．
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2024·新疆乌鲁木齐·三模
7 . 如图，在中，，
，点为边上一动点
不与点、重合
，垂直交于点，垂足为点，连接
并延长交于点，
①若是边上的中线，则
；
②若平分
，则
；
③若
，则
；
④的最小值为
．
上面结论正确的序号是______ ．
中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点， ①若
是边上的中线，则；②若
平分，则；③若
，则；④
的最小值为．上面结论正确的序号是
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8 . 如图．已知为等腰直角三角形，
，、分别为、上的两点，
，连接，将绕点逆时针旋转
得，连接与交于点．
时，若
，求的长；
(2)如图2，连接
，为的中点，连接，求证：
；
(3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转
得，连接、
、
，若
，当
周长取得最小值时，直接写出
的面积．
为等腰直角三角形，，、分别为、上的两点，，连接，将绕点逆时针旋转得，连接与交于点．
时，若，求的长；(2)如图2，连接
，为的中点，连接，求证：；(3)如图3，连接
，将绕点顺时针旋转得，连接、、，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积．
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9 . 顺次联结一个四边形各边中点，所得的四边形是矩形，那么这个四边形是（ ）
| A．矩形 | B．正方形 |
| C．菱形 | D．对角线互相垂直的四边形 |
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10 . 如图是由小正方形组成的
网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．的中点M；将沿着方向平移至；
(2)在图（2）中，将线段
绕C逆时针旋转至（点E为点B的对应点）；过点E作
于F．
网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
的中点M；将沿着方向平移至；(2)在图（2）中，将线段
绕C逆时针旋转至（点E为点B的对应点）；过点E作于F．
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2024-03-31更新
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227次组卷
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4卷引用：2024年湖北省武汉市江汉区中考一模数学试题
