1 . 如图．已知为等腰直角三角形，，、分别为、上的两点，，连接，将绕点逆时针旋转得，连接与交于点．

(1)如图1，当时，若，求的长；
(2)如图2，连接，为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得，连接、、，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积．

4 . 如图1，在中，，，点E是上的一点，过点E作交AC于点D．

(1)求证：
(2)将绕点A逆时针旋转度（），连接交于点M，点G在上，且满足
①当点E是的中点时，连接，如图2，求的值；
②连接，延长交于点F，如图3，求证：点F是的中点．

5 . 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_______．
A．平行四边形；       B．矩形；       C．菱形；       D．正方形．
【问题解决】：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结．求证：四边形是“中方四边形”：
【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，分别是的中点．
(1)试探索与的数量关系，并说明理由；
(2)若的最小值是4，则的长度为_______．(不需要解答过程)

6 . 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图（1）中，取的中点M；将沿着方向平移至；
(2)在图（2）中，将线段绕C逆时针旋转至（点E为点B的对应点）；过点E作于F．

7 . 如图，已知，点、在上，且，点从点沿线段向点运动（运动到点停止），以、为斜边在的同侧画等腰和等腰，连接，取的中点，则下列说法中正确的有(    )

的外接圆的圆心为点；的外接圆与相切；四边形的面积不变；的中点移动的路径长为．

A．个

B．个

C．个

D．个

8 . 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．

10 . 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①，②；③；④．其中正确的结论有（       ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个