1 . 凡奥贝尔定理是数学中的一个重要定理，凡·奥贝尔（）是19世纪的一位德国数学家和工程师，他在数学和工程领域做出了多项贡献．其中，他提出了一个关于四边形和正方形的定理，即凡·奥贝尔定理．该定理指出，在任意一个四边形中，如果在其边外侧构造一个正方形，并将相对的正方形的中心连起，那么这两条线段将相等且互相垂直．如图1，以四边形的边为边向外作四个正方形，四边形，四边形，四边形，四边形，与相交于点R，与相交于点N，其中心分别为，连接相交于点P，证明：．
证明过程如下：
连接，取的中点M，连接，
四边形，四边形是正方形



在和中



在和中


为的中点，M为的中点
（依据①）
同理

同理可得：____________________

，

……

(1)补全材料：同理可得：__________
(2)按照上面的思路，完成该定理的证明的剩余部分
(3)已知，分别，，为边向外作正方形，，，点分别是正方形，，的对角线交点，连接其中，则四边形的面积为__________．

3 . 综合与探究
问题呈现：
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形．
探究结论：

(1)连接，则与的数量关系是_____，位置关系是_____.
探究发现：
(2)如图2，在图1的基础上连接，，作的中点M，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
探究拓展：
(3)“智慧”数学小组把“边上任取一点E”改成了“边的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出（2）中的结论是否正确，若不正确，请直接写出正确的结论．

4 . 综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．

6 . 综合与探究：如图1，四边形中，、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、．

(1)猜想四边形的形状是________（直接回答，不必说明理由）．
(2)如图2，在四边形内一点，使，，，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，，，，，求四边形的面积．

8 . 如图①，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE．

(1)DE与BC的位置关系为 　　；
(2)如图②，连接CD，BE，若M为BE的中点，连接AM，请探究线段AM与CD的关系，并给予证明；
(3)如图③，已知E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，M为BG的中点，连接AM．
①若AB＝4，BE＝3，求AM的长；
②若AB＝a，BE＝b，则AM的长为 　　．（用含a，b的代数式表示）

9 . 综合与实践

问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将（其中）绕正方形的顶点A旋转，连接，试猜想线段与的数量关系和位置关系，并加以证明；
(1)独立思考：请解答老师提出的问题；
(2)实践探究：希望小组受此问题的启发，如图2，连接，分别取的中点M，N，R，连接，请判断线段与的数量关系，并加以证明；
(3)问题解决：智慧小组突发奇想，在（2）的条件下，如图3，将旋转至交于点H，若，则线段的长为________．