1 . 【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点E，使，连接；
小华：如图3，取的中点E，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．

【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆．
【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：．

3 . 如图正方形ABCD的边长为4，E、F、G、H分别是各边中点，连结EF、GH，把正方形分割成四个小正方形，EF、GH交于O点，I、K点分别是EB、OF的中点，∠HIJ=90°，IJ交EG于J，连结JK、HK．

(1)点J处于EG什么位置？线段IJ与IH的长度关系如何？试证明你的结论．
(2)求四边形HIJK的面积．

4 . （1）【母题呈现】如图1，是的中位线，以为斜边作，，求证：．
（2）【母题变式】如图2，是的中位线，分别以为斜边作和，，作交的延长线于点H，与交于点O．
①求证：；②求的度数．
（3）【拓展应用】如图3，在中，分别以为斜边作和，，点P是线段上一点，且，连接，请写出与之间的一个等量关系，并证明．

5 . 综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则         ；
(3)当AB=m , BC=n时．          ．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为         ．

7 . 如图①，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE．

(1)DE与BC的位置关系为 　　；
(2)如图②，连接CD，BE，若M为BE的中点，连接AM，请探究线段AM与CD的关系，并给予证明；
(3)如图③，已知E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，M为BG的中点，连接AM．
①若AB＝4，BE＝3，求AM的长；
②若AB＝a，BE＝b，则AM的长为 　　．（用含a，b的代数式表示）